Кездейсоқ айнымалылар және ықтималдық үлестірімі
Статистикалық эксперименттер - белгілі нәтижелер жиынтығымен шексіз қайталанатын кездейсоқ эксперименттер. Кездейсоқ шамалар да, ықтималдық үлестірімі де осындай эксперименттермен байланысты. Әрбір кездейсоқ шама үшін жиынтық таралу функциясы деп аталатын функциямен анықталған байланысты ықтималдық үлестірімі бар.
Кездейсоқ шама дегеніміз не?
Кездейсоқ шама – статистикалық эксперимент нәтижелеріне сандық мәндерді тағайындайтын функция. Басқаша айтқанда, бұл статистикалық эксперименттің таңдау кеңістігінен нақты сандар жиынына анықталған функция.
Мысалы, тиынды екі рет аударудың кездейсоқ тәжірибесін қарастырайық. Ықтимал нәтижелер HH, HT, TH және TT (H – бастар, Т – ертегілер). X айнымалысы экспериментте байқалған бастардың саны болсын. Сонда X 0, 1 немесе 2 мәндерін қабылдай алады және бұл кездейсоқ шама. Мұнда X кездейсоқ шама S={HH, HT, TH, TT} жиынын (үлгі кеңістігі) {0, 1, 2} жиынына HH 2, HT және TH салыстырылатындай етіп салыстырады. 1-ге салыстырылады және TT 0-ге сәйкестендіріледі. Функция белгілеуінде оны мына түрде жазуға болады: S → R мұнда X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 және X(TT)=0.
Кездейсоқ шамалардың екі түрі бар: дискретті және үздіксіз, сәйкесінше кездейсоқ шама есептей алатын ықтимал мәндердің саны ең көп есептелетін немесе жоқ. Алдыңғы мысалда X кездейсоқ шама дискретті кездейсоқ шама болып табылады, өйткені {0, 1, 2} шекті жиын. Енді сыныптағы оқушылардың салмақтарын табудың статистикалық экспериментін қарастырайық. Студенттің салмағы ретінде анықталған кездейсоқ шама Y болсын. Y белгілі бір аралықта кез келген нақты мәнді қабылдай алады. Демек, Y – үздіксіз кездейсоқ шама.
Ықтималдық үлестіру дегеніміз не?
Ықтималдық үлестірімі – кездейсоқ шаманың белгілі бір мәндерді қабылдайтын ықтималдығын сипаттайтын функция.
Кумулятивтік таралу функциясы (F) деп аталатын функцияны нақты сандар жиынынан нақты сандар жиынына дейін F(x)=P(X ≤ x) (X ықтималдығы немесе одан кіші) ретінде анықтауға болады. x-ке тең) әрбір ықтимал x нәтижесі үшін. Енді бірінші мысалдағы X жиынтық үлестірім функциясын F(a)=0 түрінде жазуға болады, егер a<0; F(a)=0,25, егер 0≤a<1; F(a)=0,75, егер 1≤a<2 және F(a)=1 болса, a≥2 болса.
Дискретті кездейсоқ шама жағдайында функция мүмкін нәтижелер жиынынан нақты сандар жиынына дейін ƒ(x)=P(X=x) (X ықтималдығы) болатындай анықталуы мүмкін. әрбір ықтимал нәтиже үшін x) тең болуы. Бұл ерекше функция ƒ кездейсоқ шамасының ықтималдық массалық функциясы деп аталады. Енді бірінші нақты мысалдағы Х ықтималдық массалық функциясын ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25, ал басқаша ƒ(x)=0 түрінде жазуға болады. Осылайша, ықтималдық массасы функциясы жинақталған үлестіру функциясымен бірге бірінші мысалда X ықтималдық үлестірімін сипаттайды.
Үздіксіз кездейсоқ шама жағдайында ықтималдық тығыздық функциясы (ƒ) деп аталатын функцияны әрбір x үшін ƒ(x)=dF(x)/dx ретінде анықтауға болады, мұндағы F – жинақталған таралу функциясы. үздіксіз кездейсоқ шама. Бұл функцияның ∫ƒ(x)dx=1 мәнін қанағаттандыратынын байқау қиын емес. Ықтималдық тығыздық функциясы жинақталатын үлестіру функциясымен бірге үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімін сипаттайды. Мысалы, қалыпты үлестірім (бұл үздіксіз ықтималдық үлестірімі) ықтималдық тығыздығы функциясының көмегімен сипатталады ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Кездейсоқ айнымалылар мен ықтималдықтардың таралуының айырмашылығы неде?
• Кездейсоқ айнымалы – үлгі кеңістігінің мәндерін нақты санмен байланыстыратын функция.
• Ықтималдық үлестірімі – кездейсоқ шама қабылдай алатын мәндерді орын алудың сәйкес ықтималдығымен байланыстыратын функция.
