Ықтималдықты бөлу функциясы және ықтималдық тығыздық функциясы
Ықтималдық – оқиғаның болу ықтималдығы. Бұл идея өте кең таралған және біз өз мүмкіндіктерімізді, транзакцияларды және басқа да көптеген нәрселерді бағалағанда күнделікті өмірде жиі қолданылады. Бұл қарапайым тұжырымдаманы оқиғалардың үлкен жиынтығына кеңейту біршама қиынырақ. Мысалы, біз лотерея ұтып алу мүмкіндігін оңай анықтай алмаймыз, бірақ лақтырылған сүйекте алтыдан бірінің алтыншы санын алу ықтималдығы бар деп айту ыңғайлы, бірақ интуитивті.
Орындалуы мүмкін оқиғалардың саны көбейіп бара жатқанда немесе жеке мүмкіндіктер саны көп болса, ықтималдық туралы бұл қарапайым идея сәтсіздікке ұшырайды. Сондықтан күрделілігі жоғары мәселелерге жақындамас бұрын оған нақты математикалық анықтама беру керек.
Бір жағдайда орын алуы мүмкін оқиғалар саны көп болған кезде, лақтырылған сүйек мысалындағыдай әрбір оқиғаны жеке-жеке қарастыру мүмкін емес. Демек, кездейсоқ шама түсінігін енгізу арқылы оқиғалардың барлық жиынтығы қорытындыланады. Бұл нақты жағдайда (немесе үлгі кеңістігінде) әртүрлі оқиғалардың мәндерін қабылдай алатын айнымалы. Ол жағдайдағы қарапайым оқиғаларға математикалық мағына береді және оқиғаны шешудің математикалық тәсілін береді. Дәлірек айтсақ, кездейсоқ шама таңдама кеңістігінің элементтері бойынша нақты мән функциясы болып табылады. Кездейсоқ шамалар дискретті немесе үздіксіз болуы мүмкін. Олар әдетте ағылшын алфавитінің бас әріптерімен белгіленеді.
Ықтималдылықты бөлу функциясы (немесе жай ғана ықтималдықты бөлу) әрбір оқиға үшін ықтималдық мәндерін тағайындайтын функция; яғни кездейсоқ шама қабылдай алатын мәндердің ықтималдықтарына қатынасты қамтамасыз етеді. Ықтималдылықты бөлу функциясы дискретті кездейсоқ шама үшін анықталған.
Ықтималдық тығыздығы функциясы үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін ықтималдықты бөлу функциясының баламасы болып табылады, белгілі бір кездейсоқ шаманың белгілі бір мәнді қабылдау ықтималдығын береді.
Егер X дискретті кездейсоқ шама болса, X диапазонындағы әрбір х үшін f (x)=P (X=x) түрінде берілген функция ықтималдықты бөлу функциясы деп аталады. Функция, егер функция келесі шарттарды қанағаттандырса ғана ықтималдықты бөлу функциясы ретінде қызмет ете алады.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Нақты сандар жиыны арқылы анықталған f (x) функциясы X үздіксіз кездейсоқ шамасының ықтималдық тығыздығының функциясы деп аталады, тек және егер, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx кез келген нақты a және b тұрақтылары үшін.
Ықтималдық тығыздығы функциясы келесі шарттарды да қанағаттандыруы керек.
1. f (x) ≥ 0 барлық x үшін: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Ықтималдықтарды бөлу функциясы да, ықтималдық тығыздығы функциясы да үлгі кеңістігіндегі ықтималдықтардың таралуын көрсету үшін пайдаланылады. Әдетте бұл ықтималдық үлестірімдері деп аталады.
Статистикалық модельдеу үшін стандартты ықтималдық тығыздығының функциялары және ықтималдықты бөлу функциялары шығарылады. Қалыпты үлестірім және стандартты қалыпты үлестірім үздіксіз ықтималдық үлестірімдерінің мысалдары болып табылады. Биномдық үлестірім және Пуассон үлестірімі дискретті ықтималдық үлестірімдерінің мысалдары болып табылады.
Ықтималдықтардың таралуы мен ықтималдық тығыздығы функциясының айырмашылығы неде?
• Ықтималдылықты бөлу функциясы және ықтималдық тығыздығы функциясы әрбір элементке сәйкес ықтималдық мәнін тағайындау үшін үлгі кеңістігінде анықталған функциялар.
• Ықтималдылықты бөлу функциялары дискретті кездейсоқ шамалар үшін анықталған, ал ықтималдық тығыздығы функциялары үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін анықталған.
• Ықтималдық мәндерінің таралуы (яғни ықтималдық үлестірімдері) ықтималдық тығыздығы функциясы және ықтималдықты бөлу функциясы арқылы жақсы бейнеленген.
• Ықтималдылықты бөлу функциясын кестеде мәндер ретінде көрсетуге болады, бірақ бұл ықтималдық тығыздығы функциясы үшін мүмкін емес, себебі айнымалы үздіксіз.
• Графикті салғанда ықтималдықты бөлу функциясы жолақ сызбасын береді, ал ықтималдық тығыздығы функциясы қисық береді.
• Ықтималдықты бөлу функциясының жолақтарының биіктігі/ұзындығы 1-ге, ал ықтималдық тығыздығы функциясының қисығы астындағы аудан 1-ге қосылуы керек.
• Екі жағдайда да функцияның барлық мәндері теріс емес болуы керек.
