Өзара ерекше және тәуелсіз оқиғалар
Адамдар көбінесе бір-бірін жоққа шығаратын оқиғалар түсінігін тәуелсіз оқиғалармен шатастырады. Негізі бұл екі түрлі нәрсе.
А және В кездейсоқ E экспериментімен байланысты кез келген екі оқиға болсын. P(A) «А ықтималдығы» деп аталады. Сол сияқты, біз B ықтималдығын P(B), A немесе B ықтималдығын P(A∪B), ал А және В ықтималдығын P(A∩B) ретінде анықтауға болады. Содан кейін P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Алайда бір оқиғаның орын алуы екіншісіне әсер етпесе, екі оқиға бірін-бірі жоққа шығарады. Басқаша айтқанда, олар бір уақытта бола алмайды. Демек, егер екі А және В оқиғасы бір-бірін жоққа шығаратын болса, онда A∩B=∅, демек, бұл P(A∪B)=P(A)+ P(B) дегенді білдіреді.
А және В үлгілік кеңістігіндегі екі оқиға болсын. В болғанын ескере отырып, А-ның шартты ықтималдығы P(A | B) арқылы белгіленеді және келесі түрде анықталады; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), берілген P(B)>0. (әйтпесе, ол анықталмайды.)
А оқиғасы В оқиғасынан тәуелсіз деп аталады, егер А оқиғасының пайда болу ықтималдығына В оқиғасының болғаны немесе болмағаны әсер етпесе. Басқаша айтқанда, В оқиғасының нәтижесі А оқиғасының нәтижесіне әсер етпейді. Сондықтан P(A | B)=P(A). Сол сияқты, егер P(B)=P(B | A) болса, В А-ға тәуелсіз. Демек, егер А және В тәуелсіз оқиғалар болса, онда P(A∩B)=P(A). P(B) деген қорытынды жасауға болады.
Нөмірленген текшені айналдырып, әділ монета аударылды делік. А басын алатын оқиға, ал В жұп санды айналдыратын оқиға болсын. Сонда А және В оқиғалары тәуелсіз деген қорытынды жасауға болады, өйткені біреуінің бұл нәтижесі екіншісінің нәтижесіне әсер етпейді. Демек, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. P(A∩B)≠0 болғандықтан, А және В бір-бірін жоққа шығара алмайды.
Урнада 7 ақ мәрмәр және 8 қара мәрмәр бар делік. А оқиғасын ақ мәрмәрді салу, ал В оқиғасын қара мәрмәр салу деп анықтаңыз. Әрбір мәрмәр оның түсін белгілегеннен кейін ауыстырылады деп есептесек, урнадан қанша рет тартсақ та, P(A) және P(B) әрқашан бірдей болады. Мраморларды ауыстыру соңғы ұтыс ойынында қандай түсті таңдасақ та, ықтималдықтардың ұтыс ойынынан сызбаға өзгермейтінін білдіреді. Сондықтан А және В оқиғасы тәуелсіз.
Алайда мраморлар ауыстырылмай сызылған болса, онда бәрі өзгереді. Бұл болжам бойынша А және В оқиғалары тәуелсіз емес. Ақ мәрмәрді бірінші рет салу екінші ұтыста қара мәрмәрді салу ықтималдығын өзгертеді және т.б. Басқаша айтқанда, әрбір ұтыс келесі ұтыс ойынына әсер етеді, сондықтан жеке ұтыс ойыны тәуелсіз болмайды.
Бірін-бірі жоққа шығаратын және тәуелсіз оқиғалар арасындағы айырмашылық
– Оқиғалардың өзара эксклюзивтілігі A және B жиындары арасында ешқандай сәйкестік жоқ дегенді білдіреді. Оқиғалардың тәуелсіздігі А оқиғасының болуы В оқиғасына әсер етпейтінін білдіреді.
– A және B екі оқиға бірін-бірі жоққа шығарса, P(A∩B)=0.
– Егер екі А және В оқиғасы тәуелсіз болса, онда P(A∩B)=P(A). P(B)
