Ортогональ және Ортонормаль
Математикада ортогональ және ортонормаль деген екі сөз векторлар жиынымен бірге жиі қолданылады. Мұнда «вектор» термині векторлық кеңістіктің элементі – сызықтық алгебрада қолданылатын алгебралық құрылым деген мағынада қолданылады. Талқылау үшін біз ішкі өнім кеңістігін – V векторлық кеңістігін V және V бойынша анықталған ішкі туындымен қарастырамыз.
Мысал ретінде, ішкі туынды үшін кеңістік - әдеттегі нүкте туындысымен бірге барлық 3 өлшемді позиция векторларының жиыны.
Ортогональ дегеніміз не?
Ішкі көбейтінді кеңістігінің V бос емес S ішкі жиыны ортогональды деп аталады, егер және тек S ішіндегі әрбір ерекше u, v үшін, [u, v]=0; яғни u және v ішкі көбейтіндісі ішкі туынды кеңістігіндегі нөлдік скалярға тең.
Мысалы, барлық 3 өлшемді позиция векторларының жиынында бұл S ішіндегі p және q позиция векторларының әрбір нақты жұбы үшін p және q бір-біріне перпендикуляр дегенге тең. (Бұл векторлық кеңістіктегі ішкі туынды нүктенің көбейтіндісі екенін есте сақтаңыз. Сондай-ақ, екі вектордың нүктелік көбейтіндісі екі вектор бір-біріне перпендикуляр болған жағдайда ғана 0-ге тең болады.)
3 өлшемді позиция векторларының ішкі жиыны болып табылатын S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} жиынын қарастырайық. (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0) екенін байқаңыз., 5)=0. Демек, S жиыны ортогональ. Атап айтқанда, ішкі көбейтіндісі 0 болса, екі вектор ортогональ деп аталады. Сондықтан Sis ортогоналындағы әрбір вектор жұбы.
Ортонормаль дегеніміз не?
Ішкі көбейтінді кеңістігінің V бос емес ішкі жиыны S ортогональ болса және S-дегі әрбір u векторы үшін [u, u]=1 болса ғана ортонормалды деп аталады. Демек, мынаны көруге болады. әрбір ортонормалық жиын ортогональ, бірақ керісінше емес.
Мысалы, барлық 3 өлшемді позиция векторларының жиынында бұл S ішіндегі p және q позиция векторларының әрбір нақты жұбы үшін p және q бір-біріне перпендикуляр және әрбір p S, |p|=1. Себебі [p, p]=1 шарты p.p=|p||p|cos0=|p|2=1 дейін төмендейді, бұл |p мәніне тең. |=1. Демек, ортогоналды жиынды ескере отырып, біз әрқашан әрбір векторды оның шамасына бөлу арқылы сәйкес ортонормаль жиынын құра аламыз.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} - барлық 3 өлшемді позиция векторларының жиынының ортонормальдық ішкі жиыны. Оның S жиынындағы векторлардың әрқайсысын олардың шамасына бөлу арқылы алынғанын байқау қиын емес.
Ортогональды және ортонормальдың айырмашылығы неде?
- Ішкі көбейтінді кеңістігінің V бос емес S ішкі жиыны ортогональ деп аталады, егер және S ішіндегі әрбір ерекше u, v үшін, [u, v]=0 болса ғана. тек қосымша шарт – S ішіндегі әрбір u векторы үшін [u, u]=1 орындалса ғана.
- Кез келген ортонормальдық жиын ортогональ, бірақ керісінше емес.
- Кез келген ортогоналды жиын бірегей ортонормаль жиынына сәйкес келеді, бірақ ортогональды жиын көптеген ортогональды жиындарға сәйкес келуі мүмкін.
