Кардинал мен Ординал
Күнделікті өмірде сандарды қолдану әртүрлі жағдайларда әртүрлі формада болуы мүмкін. Мысалы, объектілер жиынтығының көлемін анықтау үшін санағанда, біз оларды бір, екі, үш және т.б. деп санаймыз. Нысандардың орнын түсіну үшін бір нәрсені санағымыз келсе, біз оларды бірінші, екінші, үшінші және т.б деп санаймыз. Санақтың бірінші түрінде сандар негізгі сандар деп айтылады. Санақтың екінші түрінде сандар реттік сан ретінде қарастырылады. Бұл тұрғыда кардинал және реттік ұғымдар толығымен тіл білімінің мәселесі; негізгі және реттік сын есімдер.
Алайда, тұжырымдаманы математикадағы жиындарға кеңейту әлдеқайда тереңірек және кеңірек перспективаны ашады және оны қарапайым сөздермен қарастыруға болмайды. Бұл мақалада біз математикадағы негізгі және реттік сандардың негізгі ұғымдарын түсінуге тырысамыз.
Түптік және реттік сандардың ресми анықтамалары жиын теориясында берілген. Анықтамалар күрделі және оларды толық мағынада түсіну үшін жиынтық теориясында бастапқы білім қажет. Сондықтан, ұғымдарды эвристикалық тұрғыдан түсіну үшін біз бірнеше мысалға жүгінеміз.
Екі жиынды қарастырайық: {1, 3, 6, 4, 5, 2} және {автобус, автомобиль, паром, пойыз, ұшақ, тікұшақ}. Әрбір жиын элементтер жиынын тізіп береді, ал егер элементтер санын есептесек, олардың әрқайсысында бірдей элементтер саны бар екені анық, яғни 6. Осы қорытындыға келе отырып, біз бір жиынның өлшемін алып, екіншісімен салыстырдық. саны. Мұндай сан негізгі сан деп аталады. Демек, түпкілікті санды біз ақырлы жиындардың өлшемін салыстыру үшін пайдалана алатын сан деп айта аламыз.
Тағы да бірінші сандар жинағын әрбір элементтің өлшемін ескере отырып және оларды салыстыра отырып, өсу ретімен орналастыруға болады. Тапсырыс беру процесінде сандар кардинал ретінде қарастырылады. Сол сияқты, барлық теріс емес бүтін сандар жиынын жиында ретке келтіруге болады; яғни {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Бірақ бұл жағдайда жиынның өлшемі шексіз болады және оны реттік жағынан беру мүмкін емес. Жиынның өлшемін беру үшін қаншалықты үлкен санды таңдасаңыз да, сіз таңдаған жиыннан тыс және теріс емес бүтін сандар болып табылатын сандар қалады.
Сондықтан математиктер бұл шексіз кардиналды (ол бірінші) א (еврей алфавитіндегі бірінші әріп) ретінде жазылған Aleph-0 деп анықтайды. Ресми түрде реттік сан жақсы реттелген жиынның реттік түрі болып табылады. Демек, ақырлы жиындардың реттік санын негізгі сандармен беруге болады, бірақ шексіз жиындар үшін реттік Aleph-0 сияқты трансфинитті сандар арқылы беріледі.
Кардиналдық және реттік сандардың айырмашылығы неде?
• Негізгі сан – санау немесе соңғы реттелген жиынның өлшемін беру үшін пайдалануға болатын сан. Барлық негізгі сандар реттік сандар.
• Реттік сандар – ақырлы және шексіз реттелген жиындардың өлшемін беру үшін қолданылатын сандар. Ақырғы реттелген жиындардың өлшемі әдеттегі үнді-араб алгебралық сандарымен, ал шексіз жиын өлшемі трансфинитті сандармен беріледі.
