Биномдық және қалыпты үлестірім
Статистика саласында кездейсоқ шамалардың ықтималдық үлестірімі маңызды рөл атқарады. Бұл ықтималдық үлестірімдерінің ішінен биномдық үлестірім және қалыпты үлестірім нақты өмірде жиі кездесетін екеуі болып табылады.
Биномдық үлестірім дегеніміз не?
Биномдық үлестірім – X кездейсоқ шамасына сәйкес келетін ықтималдық үлестірімі, ол әрқайсысының сәттілік ықтималдығы p бар тәуелсіз иә/жоқ тәжірибелердің соңғы тізбегі табыстарының саны. Х анықтамасынан оның дискретті кездейсоқ шама екені көрініп тұр; сондықтан биномдық таралу да дискретті.
Таралу X ~ B (n, p) ретінде белгіленеді, мұндағы n - эксперименттер саны және p - сәттілік ықтималдығы. Ықтималдықтар теориясына сәйкес, B (n, p) ықтималдық массалық функциясы [латекс] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p) орындайтынын қорытындылай аламыз.)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/латекс]. Бұл теңдеуден X, E(X)=np күтілетін мәні және X, V(X)=np (1- p) дисперсиясы болатынын қосымша қорытындылауға болады.
Мысалы, тиынды 3 рет лақтырудың кездейсоқ тәжірибесін қарастырайық. Табысты H алу ретінде, сәтсіздікті Т алу ретінде және X кездейсоқ шаманы эксперименттегі жетістіктер саны ретінде анықтаңыз. Сонда X ~ B (3, 0,5) және [латекс] \бином{3}{k} 0 арқылы берілген Х ықтималдық массалық функциясы.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Демек, кем дегенде 2 H алу ықтималдығы P(X ≥ 2)=P (X=2 немесе X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0,52)(0,51) + 3 C3(0,53)(0,50)=0,375 + 0,125=0,5.
Қалыпты таралу дегеніміз не?
Қалыпты үлестірім – ықтималдық тығыздығы функциясымен анықталған үздіксіз ықтималдық үлестірімі, [латекс] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\сигма^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/латекс]. [латекс] \mu және \\сигма [/латекс] параметрлері қызығушылық топтамасының орташа мәні мен стандартты ауытқуын білдіреді. [латекс] \mu=0 және \\сигма=1 [/латекс] болған кезде бөлу стандартты қалыпты үлестірім деп аталады.
Бұл бөлу қалыпты деп аталады, өйткені табиғат құбылыстарының көпшілігі қалыпты таралуға сәйкес келеді. Мысалы, адам популяциясының IQ деңгейі қалыпты түрде бөлінеді. Графиктен көрініп тұрғандай, ол бірмодальды, орташа шамаға симметриялы және қоңырау пішінді. Орташа, режим және медиана сәйкес келеді. Қисық астындағы аудан берілген шартты қанағаттандыратын популяцияның бөлігіне сәйкес келеді.
Популяцияның [латекс] (\mu – \\сигма, \\му + \\сигма) [/латекс], [латекс] (\mu – 2 \\сигма,) аралықтағы бөліктері. \\mu + 2 \\сигма) [/латекс], [латекс] (\mu – 3 \\сигма, \\mu + 3 \\сигма) [/латекс] шамамен 68,2%, 95,6% және 99,8% құрайды. тиісінше.
Биномдық және қалыпты үлестірімдердің айырмашылығы неде?
- Биномдық үлестірім – дискретті ықтималдық үлестірімі, ал қалыпты үлестірім үздіксіз.
- Биномдық үлестірімнің ықтималдық массалық функциясы [латекс]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/латекс], ал қалыпты таралудың ықтималдық тығыздық функциясы [латекс] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- Биномдық үлестірім белгілі бір жағдайларда қалыпты таралумен жуықталған, бірақ керісінше емес.
