Power Series және Taylor Series арасындағы айырмашылық

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 13:43

Power Series vs Taylor Series

Математикада нақты реттілік – нақты сандардың реттелген тізімі. Ресми түрде бұл натурал сандар жиынынан нақты сандар жиынына дейінгі функция. Егер a_n тізбектің n^th мүшесі болса, біз ретті ₁ арқылы немесе арқылы белгілейміз., a ₂, …, a_n, …. Мысалы, 1, ½, ⅓, …, ^{1 ретін қарастырайық.} / _{n, …. Оны {1/n} деп белгілеуге болады.}

Қатарларды реттілік арқылы анықтауға болады. Қатар – тізбектің мүшелерінің қосындысы. Демек, әрбір реттілік үшін байланысты реттілік бар және керісінше. Егер {a_{n} қарастырылып отырған тізбегі болса, онда сол реттілікпен құрылған қатарды келесідей көрсетуге болады:}

Осылайша, жоғарыдағы мысалда байланысты серия 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Атауларынан көрініп тұрғандай, дәрежелік қатар қатарлардың ерекше түрі болып табылады және ол Сандық талдауда және оған қатысты математикалық модельдеуде кеңінен қолданылады. Тейлор сериясы - белгілі функцияларды көрсетудің балама және оңай басқару әдісін ұсынатын арнайы қуат сериясы.

Қуат сериясы дегеніміз не?

Дәрежелік қатар – түрдегі қатар

бұл c ортасында орналасқан кейбір интервал үшін жинақталған (мүмкін). a_{nкоэффиценттері нақты немесе күрделі сандар болуы мүмкін және x-ке тәуелсіз; яғни жалған айнымалы.}

Мысалы, әрбір n үшін a_n=1 және c=0 орнату арқылы 1+x+x² қуат сериясы +…..+ x^{+… алынды. x ε (-1, 1) болғанда, бұл дәрежелер қатары 1/(1-x) мәніне жинақталатынын байқау оңай.}

Дәрежелік қатар x=c болғанда жинақталады. Дәрежелік қатар жинақталатын x-тің басқа мәндері әрқашан c нүктесінде орналасқан ашық интервал пішінін қабылдайды. Яғни 0≤ R ≤ ∞ мәні болады, осылайша әрбір х қанағаттандыратын |x-c|≤ R үшін дәрежелік қатар жинақталған және әрбір х қанағаттандыратын |x-c|> R үшін дәрежелік қатар дивергентті болады. Бұл R мәні дәрежелік қатардың жинақтылық радиусы деп аталады (R кез келген нақты мәнді немесе оң шексіздікті қабылдай алады).

Күш қатарларын келесі ережелер арқылы қосуға, алуға, көбейтуге және бөлуге болады. Екі қуат қатарын қарастырыңыз:

Сосын,

яғни сияқты терминдер бірге қосылады немесе азайтылады. Сондай-ақ,сәйкестендіру арқылы екі дәрежелік қатарды көбейтуге және бөлуге болады.

Тейлор сериясы дегеніміз не?

Тейлор қатары интервалда шексіз дифференциалданатын f (x) функциясы үшін анықталған. f (x) центрі c нүктесінде орналасқан интервалда дифференциалданатын болады делік. Содан кейінарқылы берілген қуат қатары

c шамасында f (x) функциясының Тейлор қатарының кеңеюі деп аталады. (Мұнда f⁽ⁿ⁾ (c) x=c нүктесінде n^{th туындысын білдіреді). Сандық талдауда осы шексіз кеңейтудегі терминдердің ақырлы саны қатар бастапқы функцияға жинақталған нүктелердегі мәндерді есептеу үшін пайдаланылады.}

f (x) функциясы (a, b) интервалында аналитикалық деп аталады, егер әрбір x ε (a, b) үшін f (x) Тейлор қатары f () функциясына жинақталса. x). Мысалы, 1/(1-x) аналитикалық (-1, 1), себебі оның Тейлор кеңейтімі 1+x+x²+….+ x ^{+… осы аралықтағы функцияға жақындайды және e}x ^{барлық жерде аналитикалық болып табылады, өйткені e}x ^{Тейлор қатары e}-ға жинақталады. x ^{әрбір нақты сан үшін x.}

Power сериясы мен Тейлор сериясының айырмашылығы неде?

1. Тейлор қатары - кейбір ашық аралықта шексіз дифференциалданатын функциялар үшін ғана анықталған дәрежелік қатарлардың арнайы класы.

2. Тейлор сериясы арнайы пішінді алады

ал дәрежелік қатарлар түріндегі кез келген қатар болуы мүмкін