Дискретті функция және үздіксіз функция
Функциялар математиканың барлық дерлік қосалқы салаларында кеңінен қолданылатын математикалық объектілердің ең маңызды кластарының бірі болып табылады. Олардың аттары дискретті функцияларды да, үздіксіз функцияларды да функцияның екі ерекше түрі болып табылатынын көрсетеді.
Функция – бірінші жиындағы әрбір элемент үшін екінші жиындағы оған сәйкес мән бірегей болатындай анықталған екі жиын арасындағы қатынас. А жиынынан В жиынына анықталған f функциясы болсын. Сонда әрбір x ϵ A үшін f (x) таңбасы B жиынындағы x-ке сәйкес келетін бірегей мәнді білдіреді. Ол f астындағы х кескіні деп аталады. Демек, A-дан В-ға f қатынасы функция болып табылады, егер үшін және тек үшін болса, әрбір xϵ A және y ϵ A; егер x=y болса, f (x)=f (y). A жиыны f функциясының облысы деп аталады және ол функция анықталған жиын болып табылады.
Мысалы, әрбір xϵ A үшін f (x)=x + 2 арқылы анықталған R-дан R-ға қатынасын қарастырыңыз. Бұл функция, оның анықталу облысы R, әрбір нақты сан x және y үшін, x=y f (x)=x + 2=y + 2=f (y) мәнін білдіреді. Бірақ g (x)=a арқылы анықталған N-ден N-ге қатынасы, мұндағы 'a' x-тің жай көбейткіштері болып табылады, g (6)=3, сондай-ақ g (6)=2 сияқты функция емес.
Дискретті функция дегеніміз не?
Дискретті функция – домені ең көп есептелетін функция. Бұл жай ғана доменнің барлық элементтерін қамтитын тізім жасауға болатынын білдіреді.
Кез келген шекті жиын ең көп есептелетін болады. Натурал сандар жиыны және рационал сандар жиыны ең көп есептелетін шексіз жиындарға мысал болып табылады. Нақты сандар жиыны мен иррационал сандар жиыны ең көп есептелмейді. Екі жиын да сансыз. Бұл сол жиындардың барлық элементтерін қамтитын тізім жасау мүмкін емес дегенді білдіреді.
Кең тараған дискретті функциялардың бірі факторлық функция болып табылады. f:N U{0}→N әрбір n ≥ 1 және f (0)=1 үшін f (n)=n f (n-1) арқылы рекурсивті түрде анықталған факторлық функция деп аталады. Оның N U{0} домені ең көп есептелетінін ескеріңіз.
Үздіксіз функция дегеніміз не?
f функциясы f, f (x)→ f (k) облысындағы әрбір k үшін x → k болатындай функция болсын. Сонда f - үздіксіз функция. Бұл f (x) мәнін f (k) мәніне ерікті түрде жақындатуға болады дегенді білдіреді.
R-де f (x)=x + 2 функциясын қарастырайық. x → k, x + 2 → k + 2 ретінде f (x)→ f (k) болатынын көруге болады. Демек, f – үздіксіз функция. Енді, g (x)=1, егер x > 0 болса, және x=0 болса, g (x)=0 оң нақты сандардағы g мәнін қарастырайық. Сонда, бұл функция үздіксіз функция емес, өйткені g (x) шегі жоқ (сондықтан ол g (0) мәніне тең емес) x → 0.
Дискретті және үздіксіз функцияның айырмашылығы неде?
• Дискретті функция – домені ең көп есептелетін, бірақ үздіксіз функцияларда олай болуы қажет емес функция.
• Барлық үздіксіз функциялардың ƒ қасиеті ƒ(x)→ƒ(k) әрбір x үшін және ƒ облысындағы әрбір k үшін x → k ретінде сипатталады, бірақ кейбір дискретті функцияларда олай емес..
