Сызықтық теңдеу және сызықтық емес теңдеу
Математикада алгебралық теңдеулер - көпмүшелердің көмегімен құрылатын теңдеулер. Ашық жазылған кезде теңдеулер P(x)=0 түрінде болады, мұнда x - n белгісіз айнымалының векторы және P - көпмүше. Мысалы, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 анық жазылған екі айнымалыдағы алгебралық теңдеу.. Сондай-ақ, (x+y)3 =3x2y – 3zy4 – алгебралық теңдеу, бірақ жасырын түрде және ол Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy пішінін қабылдайды. 2 +3zy4=0, бір рет анық жазылған.
Алгебралық теңдеудің маңызды сипаттамасы – оның дәрежесі. Ол теңдеуде кездесетін мүшелердің ең жоғары дәрежесі ретінде анықталады. Егер термин екі немесе одан да көп айнымалылардан тұрса, әрбір айнымалының дәрежелерінің қосындысы мүшенің дәрежесі ретінде қабылданады. Осы анықтамаға сәйкес P(x, y)=0 5 дәрежелі, ал Q(x, y, z)=0 5 дәрежелі екенін ескеріңіз.
Сызықтық теңдеулер және сызықтық емес теңдеулер алгебралық теңдеулер жиынында анықталған екі бөлімді құрайды. Теңдеудің дәрежесі оларды бір-бірінен ажырататын фактор болып табылады.
Сызықтық теңдеу дегеніміз не?
Сызықтық теңдеу 1 дәрежелі алгебралық теңдеу болып табылады. Мысалы, 4x + 5=0 - бір айнымалының сызықтық теңдеуі. x + y + 5z=0 және 4x=3w + 5y + 7z сәйкесінше 3 және 4 айнымалысы бар сызықтық теңдеулер. Жалпы, n айнымалының сызықтық теңдеуі m1x1 + m2x пішінін қабылдайды. 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Мұнда xi белгісіз айнымалылар, mi және b нақты сандар, мұндағы әрбір mi нөл емес.
Мұндай теңдеу n-өлшемді евклид кеңістігіндегі гипержазықтықты көрсетеді. Атап айтқанда, екі айнымалы сызықтық теңдеу декарттық жазықтықтағы түзуді, ал үш айнымалы сызықтық теңдеу евклидтік 3-кеңістігіндегі жазықты көрсетеді.
Сызықты емес теңдеу дегеніміз не?
Квадрат теңдеу – сызықтық емес алгебралық теңдеу. Басқаша айтқанда, сызықты емес теңдеу 2 немесе одан жоғары дәрежелі алгебралық теңдеу болып табылады. x2 + 3x + 2=0 – бір айнымалы сызықты емес теңдеу. x2 + y3+ 3xy=4 және 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 сәйкесінше 3 және 4 айнымалы сызықтық емес теңдеулердің мысалдары болып табылады.
Екінші дәрежелі сызықты емес теңдеу квадрат теңдеу деп аталады. Егер дәреже 3 болса, онда ол текше теңдеу деп аталады.4-дәрежелі және 5-ші дәрежелі теңдеулер сәйкесінше кварттық және квинтикалық теңдеулер деп аталады. Кез келген 5 дәрежелі сызықтық емес теңдеуді шешудің аналитикалық әдісі жоқ екені дәлелденді және бұл кез келген жоғары дәрежеге де қатысты. Шешілетін сызықтық емес теңдеулер гипер жазықтық емес гипер беттерді білдіреді.
Сызықтық теңдеу мен сызықтық емес теңдеудің айырмашылығы неде?
• Сызықтық теңдеу 1 дәрежелі алгебралық теңдеу, бірақ сызықтық емес теңдеу 2 немесе одан жоғары дәрежелі алгебралық теңдеу болып табылады.
• Кез келген сызықтық теңдеу аналитикалық жолмен шешілетін болса да, сызықтық емес теңдеулерде олай емес.
• n-өлшемді евклид кеңістігінде n-айнымалы сызықтық теңдеудің шешім кеңістігі гипержазықтық болып табылады, ал n-айнымалы сызықтық емес теңдеудің шешімі гипержазықтық емес гипер бет болып табылады. (Квадриктер, кубтық беттер және т.б.)
