Сызықтық және сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер
Кемінде бір дифференциалдық коэффициенті немесе белгісіз айнымалының туындысы бар теңдеу дифференциалдық теңдеу деп аталады. Дифференциалдық теңдеу сызықтық немесе сызықты емес болуы мүмкін. Бұл мақаланың көлемі сызықтық дифференциалдық теңдеу деген не, сызықтық емес дифференциалдық теңдеу деген не және сызықтық және сызықтық емес дифференциалдық теңдеулердің айырмашылығы неде екенін түсіндіру.
18 ғасырда Ньютон мен Лейбниц сияқты математиктер есептеуді дамытқаннан бері дифференциалдық теңдеу математика тарихында маңызды рөл атқарды. Дифференциалдық теңдеулер қолданылу аясына байланысты математикада үлкен маңызға ие. Физика, техника, химия, статистика, қаржылық талдау немесе биология (тізім шексіз) болсын, әлемдегі кез келген сценарийді немесе оқиғаны түсіндіру үшін біз әзірлейтін әрбір модельдің негізінде дифференциалдық теңдеулер жатыр. Шындығында, есептеулер қалыптасқан теорияға айналғанша, табиғаттағы қызықты есептерді талдау үшін тиісті математикалық құралдар қолжетімсіз болды.
Есептеуді арнайы қолдану нәтижесінде алынған теңдеулер өте күрделі және кейде шешілмеуі мүмкін. Дегенмен, біз шеше алатындар бар, бірақ ұқсас және түсініксіз болуы мүмкін. Сондықтан дифференциалдық теңдеулерді оңай анықтау үшін олардың математикалық әрекеті бойынша жіктеледі. Сызықтық және сызықты емес - осындай категориялардың бірі. Сызықтық және сызықтық емес дифференциалдық теңдеулердің айырмашылығын анықтау маңызды.
Сызықтық дифференциалдық теңдеу дегеніміз не?
f: X→Y және f(x)=y, белгісіз y функциясының сызықтық емес мүшелері жоқ дифференциалдық теңдеу және оның туындылары сызықтық дифференциалдық теңдеу ретінде белгілі болсын делік.
Ол y үшін y2, y3, … сияқты жоғары индекстік терминдерге және туынды сөздердің еселіктеріне ие болмауы шартын қояды.ретінде
Ол сондай-ақ Sin y, e y ^-2 немесе ln y сияқты сызықтық емес терминдерді қамтуы мүмкін емес. Олпішінін алады
мұндағы y және g – x функциясы. Теңдеу n ретті дифференциалдық теңдеу болып табылады, ол ең жоғары ретті туындының индексі болып табылады.
Сызықтық дифференциалдық теңдеуде дифференциалдық оператор сызықтық оператор болып табылады, ал шешімдер векторлық кеңістікті құрайды. Шешім жиынының сызықтық сипатының нәтижесінде шешімдердің сызықтық комбинациясы да дифференциалдық теңдеудің шешімі болып табылады. Яғни, егер y1 және y2 дифференциалдық теңдеудің шешімдері болса, онда C1 y 1+ C2 y2 да шешім болып табылады.
Теңдеудің сызықтылығы классификацияның тек бір параметрі болып табылады және оны әрі қарай біртекті немесе біртекті емес және кәдімгі немесе ішінара дифференциалдық теңдеулер деп жіктеуге болады. Егер функция g=0 болса, онда теңдеу сызықты біртекті дифференциалдық теңдеу болады. Егер f екі немесе одан да көп тәуелсіз айнымалылардың функциясы болса (f: X, T→Y) және f(x, t)=y, онда теңдеу сызықтық ішінара дифференциалдық теңдеу болады.
Дифференциалдық теңдеуді шешу әдісі дифференциалдық теңдеудің түріне және коэффициенттеріне байланысты. Ең оңай жағдай коэффициенттер тұрақты болғанда пайда болады. Бұл жағдайдың классикалық мысалы - Ньютонның екінші қозғалыс заңы және оның әртүрлі қолданылуы. Ньютонның екінші заңы тұрақты коэффициенттері бар екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді шығарады.
Сызықты емес дифференциалдық теңдеу дегеніміз не?
Сызықты емес мүшелері бар теңдеулер сызықты емес дифференциалдық теңдеулер деп аталады.
Жоғарыдағылардың барлығы сызықты емес дифференциалдық теңдеулер. Сызықты емес дифференциалдық теңдеулерді шешу қиын, сондықтан дұрыс шешімді алу үшін мұқият зерттеу қажет. Дербес дифференциалдық теңдеулер жағдайында теңдеулердің көпшілігінің жалпы шешімі болмайды. Сондықтан әрбір теңдеуді дербес өңдеу керек.
Навье-Стокс теңдеуі және сұйықтық динамикасындағы Эйлер теңдеуі, Эйнштейннің жалпы салыстырмалықтың өріс теңдеулері жақсы белгілі сызықты емес ішінара дифференциалдық теңдеулер. Кейде Лагранж теңдеуін айнымалы жүйеге қолдану сызықты емес дербес дифференциалдық теңдеулер жүйесіне әкелуі мүмкін.
Сызықтық және сызықтық емес дифференциалдық теңдеулердің айырмашылығы неде?
• Белгісіз немесе тәуелді айнымалының және оның туындыларының сызықтық мүшелері ғана болатын дифференциалдық теңдеу сызықтық дифференциалдық теңдеу ретінде белгілі. Оның индекстің 1-ден жоғары тәуелді айнымалысы бар мүшесі жоқ және оның туындыларының ешбір еселігі жоқ. Ол тәуелді айнымалыға қатысты тригонометриялық функциялар, көрсеткіштік функциялар және логарифмдік функциялар сияқты сызықты емес функцияларға ие бола алмайды. Жоғарыда аталған мүшелерді қамтитын кез келген дифференциалдық теңдеу сызықты емес дифференциалдық теңдеу болып табылады.
• Сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешімдері векторлық кеңістікті құрады және дифференциалдық оператор да векторлық кеңістіктегі сызықтық оператор болып табылады.
• Сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешімдері салыстырмалы түрде оңай және жалпы шешімдер бар. Сызықты емес теңдеулер үшін көп жағдайда жалпы шешім болмайды және шешім нақты мәселе болуы мүмкін. Бұл шешімді сызықтық теңдеулерге қарағанда әлдеқайда қиынырақ етеді.
