Сызықтық теңдеу және квадрат теңдеу
Математикада алгебралық теңдеулер – көпмүшеліктерді пайдаланып құрылатын теңдеулер. Ашық жазылған кезде теңдеулер P(x)=0 түрінде болады, мұнда x - n белгісіз айнымалының векторы және P - көпмүше. Мысалы, P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 – анық жазылған екі айнымалының алгебралық теңдеуі. Сондай-ақ, (x+y)3=3x2y – 3zy4 – алгебралық теңдеу, бірақ жасырын түрде. Ол Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 пішінін алады. +3zy4=0, бір рет анық жазылған.
Алгебралық теңдеудің маңызды сипаттамасы – оның дәрежесі. Ол теңдеуде кездесетін мүшелердің ең жоғары дәрежесі ретінде анықталады. Егер термин екі немесе одан да көп айнымалылардан тұрса, әрбір айнымалының дәрежелерінің қосындысы мүшенің дәрежесі ретінде қабылданады. Осы анықтамаға сәйкес P(x, y)=0 4 дәрежелі, ал Q(x, y, z)=0 5 дәрежелі екенін ескеріңіз.
Сызықтық теңдеулер мен квадрат теңдеулер - алгебралық теңдеулердің екі түрлі түрі. Теңдеудің дәрежесі - оларды басқа алгебралық теңдеулерден ажырататын фактор.
Сызықтық теңдеу дегеніміз не?
Сызықтық теңдеу 1 дәрежелі алгебралық теңдеу болып табылады. Мысалы, 4x + 5=0 - бір айнымалының сызықтық теңдеуі. x + y + 5z=0 және 4x=3w + 5y + 7z сәйкесінше 3 және 4 айнымалысы бар сызықтық теңдеулер. Жалпы, n айнымалының сызықтық теңдеуі m1x1+m пішінін қабылдайды. 2x2+…+ mn-1x n-1+ mnxn =b. Мұнда xi белгісіз айнымалылар, mi және b нақты сандар, мұндағы әрбір mi нөл емес.
Мұндай теңдеу n-өлшемді евклид кеңістігіндегі гипержазықтықты көрсетеді. Атап айтқанда, екі айнымалы сызықтық теңдеу декарттық жазықтықтағы түзуді, ал үш айнымалы сызықтық теңдеу евклидтік 3-кеңістігіндегі жазықты көрсетеді.
Квадрат теңдеу дегеніміз не?
Квадрат теңдеу – екінші дәрежелі алгебралық теңдеу. x2 + 3x + 2=0 – бір айнымалы квадрат теңдеу. x2 + y2 + 3x=4 және 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 сәйкесінше 2 және 3 айнымалысы бар квадрат теңдеулердің мысалдары.
Бір айнымалы жағдайда квадрат теңдеудің жалпы түрі ax2 + bx + c=0. Мұндағы a, b, c – нақты сандар 'a' нөл емес. Дискриминант ∆=(b2 – 4ac) квадрат теңдеудің түбірлерінің табиғатын анықтайды.∆ оң, нөл және теріс болғандықтан теңдеудің түбірлері нақты анық, нақты ұқсас және күрделі болады. Теңдеудің түбірлерін x=(- b ± √∆) / 2a формуласы арқылы оңай табуға болады.
Екі айнымалы жағдайда жалпы пішін ax2 + арқылы2 + cxy + dx + ex + f=0 және бұл декарттық жазықтықта конусты (парабола, гипербола немесе эллипс) білдіреді. Жоғары өлшемдерде теңдеулердің бұл түрі квадрикалар деп аталатын гипер-беттерді білдіреді.
Сызықтық және квадрат теңдеулердің айырмашылығы неде?
• Сызықтық теңдеу 1 дәрежелі алгебралық теңдеу, ал квадрат теңдеу 2 дәрежелі алгебралық теңдеу.
• n-өлшемді евклид кеңістігінде n-айнымалы сызықтық теңдеудің шешу кеңістігі гипержазықтық, ал n-айнымалысы квадраттық теңдеудікі квадраттық бет болып табылады.
