Туынды және интеграл
Дифференциалдау және интеграция есептеудегі екі негізгі операция болып табылады. Олардың математика, инженерия және физика сияқты бірнеше салаларда көптеген қолданбалары бар. Туынды да, интегралды да функцияның әрекетін немесе бізді қызықтыратын физикалық тұлғаның әрекетін талқылайды.
Туынды дегеніміз не?
y=ƒ(x) және x0 ƒ доменінде болсын делік. Содан кейін limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx x0 кезіндегі ƒ өзгерісінің лездік жылдамдығы деп аталады., бұл шектеу шектеулі болған жағдайда. Бұл шекті at туындысы деп те атайды және ƒ(x) арқылы белгіленеді.
Функцияның облысындағы ерікті x нүктесіндегі f функциясының туындысының мәні limΔx→∞ арқылы берілген. [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Бұл келесі өрнектердің кез келгенімен белгіленеді: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Бірнеше айнымалысы бар функциялар үшін біз ішінара туындыны анықтаймыз. Бірнеше айнымалысы бар функцияның ішінара туындысы басқа айнымалылар тұрақты деп есептей отырып, оның сол айнымалылардың біріне қатысты туындысы болып табылады. Жартылай туындының таңбасы ∂.
Геометриялық тұрғыдан функцияның туындысын ƒ(x) функциясының қисығының көлбеуі ретінде түсіндіруге болады.
Интеграл дегеніміз не?
Интеграция немесе антидифференциация – дифференциацияның кері процесі. Басқаша айтқанда, бұл функцияның туындысы берілген кезде бастапқы функцияны табу процесі. Демек, ƒ(x) функциясының интегралы немесе антитуындысы, ƒ(x)=F (x) болса, ƒ(x) анықталу аймағындағы барлық x үшін F (x) функциясы ретінде анықталуы мүмкін.
∫ƒ(x) dx өрнегі ƒ(x) функциясының туындысын білдіреді. Егер ƒ(x)=F (x), онда ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, мұндағы C тұрақты, ∫ƒ(x) dx ƒ(x)-тің анықталмаған интегралы деп аталады.
Кез келген ƒ функциясы үшін, ол міндетті түрде теріс емес және [a, b], a∫b аралығында анықталған ƒ(x) dx [a, b] бойынша анықталған ƒ интегралы деп аталады.
Анықталған интегралы a∫bƒ(x) dx ƒ(x) функциясының ауданы ретінде геометриялық түрде түсіндіруге болады. ƒ(x) қисығымен, x осімен және x=a және x=b сызықтарымен шектелген аймақ.
Туынды мен интегралдың айырмашылығы неде?
• Туынды - процесті дифференциалдау нәтижесі, ал интеграл - процесс интеграциясының нәтижесі.
• Функцияның туындысы кез келген берілген нүктедегі қисық көлбеуін, ал интеграл қисық астындағы ауданды білдіреді.
