Дифференциация және туынды
Дифференциалдық есептеулерде туынды және дифференциалдау бір-бірімен тығыз байланысты, бірақ өте әртүрлі және функцияларға қатысты екі маңызды математикалық ұғымды көрсету үшін пайдаланылады.
Туынды дегеніміз не?
Функцияның туындысы оның кірісі өзгерген кезде функция мәнінің өзгеру жылдамдығын өлшейді. Көп айнымалы функцияларда функция мәнінің өзгеруі тәуелсіз айнымалылар мәндерінің өзгеру бағытына байланысты болады. Сондықтан мұндай жағдайларда белгілі бір бағыт таңдалып, функция сол нақты бағытта сараланады. Бұл туынды бағытталған туынды деп аталады. Жартылай туындылар – бағытталған туындылардың ерекше түрі.
Векторлық мәнді f функциясының туындысын [латекс]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac шегі ретінде анықтауға болады {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] шексіз бар жерде. Бұрын айтылғандай, бұл f функциясының u векторының бағыты бойынша өсу жылдамдығын береді. Бір мәнді функция жағдайында бұл туындының белгілі анықтамасына дейін азайтады, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\-дан 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Мысалы, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] барлық жерде дифференциалданады, ал туынды шекке тең, [латекс]\\lim_{h \\ 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], ол [латекс]3x^{2}+4[/латекс] мәніне тең. [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] сияқты функциялардың туындылары барлық жерде бар. Олар сәйкесінше [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] функцияларына тең.
Бұл бірінші туынды ретінде белгілі. Әдетте f функциясының бірінші туындысы f (1) арқылы белгіленеді. Енді осы белгілеуді пайдалана отырып, жоғары ретті туындыларды анықтауға болады. [латекс]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\-0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] - екінші ретті бағытталған туынды және n -ші туындыны f (n) арқылы белгілейді әрбір n үшін, [латекс]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\-0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th туындыны анықтайды.
Диференциация дегеніміз не?
Дифференциалдау – дифференциалданатын функцияның туындысын табу процесі. D арқылы белгіленген D-операторы кейбір контексттерде дифференциацияны білдіреді. Егер x тәуелсіз айнымалы болса, D ≡ d/dx. D-операторы сызықтық оператор болып табылады, яғни кез келген екі дифференциалданатын f және g функциясы және c тұрақтысы үшін келесі сипаттар сақталады.
Мен. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
D-операторын пайдалану арқылы дифференциалдаумен байланысты басқа ережелерді келесідей көрсетуге болады. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 және D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Мысалы, F(x)=x 2sin x берілген ережелерді пайдаланып x-қа қатысты сараланғанда, жауап 2 x sin x + xболады. 2cos x.
Дифференциация мен туындының айырмашылығы неде?• Туынды функцияның өзгеру жылдамдығын білдіреді • Дифференциалдау – функцияның туындысын табу процесі. |
