Туынды және дифференциал
Дифференциалдық есепте функцияның туындысы мен дифференциалы бір-бірімен тығыз байланысты, бірақ өте әртүрлі мағынаға ие және дифференциалданатын функцияларға қатысты екі маңызды математикалық нысанды көрсету үшін пайдаланылады.
Туынды дегеніміз не?
Функцияның туындысы оның кірісі өзгерген кезде функция мәнінің өзгеру жылдамдығын өлшейді. Көп айнымалы функцияларда функция мәнінің өзгеруі тәуелсіз айнымалылар мәндерінің өзгеру бағытына байланысты болады. Сондықтан мұндай жағдайларда белгілі бір бағыт таңдалып, функция сол нақты бағытта сараланады. Бұл туынды бағытталған туынды деп аталады. Жартылай туындылар – бағытталған туындылардың ерекше түрі.
Векторлық мәнді f функциясының туындысын [латекс]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac шегі ретінде анықтауға болады {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] шексіз бар жерде. Бұрын айтылғандай, бұл f функциясының u векторының бағыты бойынша өсу жылдамдығын береді. Бір мәнді функция жағдайында бұл туындының белгілі анықтамасына дейін азайтады, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\-дан 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Мысалы, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] барлық жерде дифференциалданады, ал туынды шекке тең, [латекс]\\lim_{h \\ 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], ол [латекс]3x^{2}+4[/латекс] мәніне тең. [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] сияқты функциялардың туындылары барлық жерде бар. Олар сәйкесінше [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex] функцияларына тең.
Бұл бірінші туынды ретінде белгілі. Әдетте f функциясының бірінші туындысы f (1) арқылы белгіленеді. Енді осы белгілеуді пайдалана отырып, жоғары ретті туындыларды анықтауға болады. [латекс]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\-0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] - екінші ретті бағытталған туынды және n -ші туындыны f (n) арқылы белгілейді әрбір n үшін, [латекс]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\-0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th туындыны анықтайды.
Дифференциал дегеніміз не?
Функцияның дифференциалы тәуелсіз айнымалы немесе айнымалылардағы өзгерістерге қатысты функцияның өзгеруін білдіреді. Кәдімгі жазуда бір x айнымалысының берілген f функциясы үшін 1 df ретті толық дифференциал мына түрде беріледі: [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Бұл x (яғни d x) бойынша шексіз аз өзгеріс үшін f (1)(x)d x өзгерісі болатынын білдіреді.
Шектеулерді пайдалану келесідей анықтамамен аяқталуы мүмкін. ∆ x – ерікті x нүктесіндегі х өзгерісі және ∆ f – f функциясының сәйкес өзгерісі делік. ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ екенін көрсетуге болады, мұндағы ϵ – қате. Енді шектеу ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (туындының бұрын берілген анықтамасын пайдалана отырып) және осылайша, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Сондықтан, мүмкін болады. ∆ x→ 0 ϵ=0 деген қорытындыға келіңіз. Енді ∆ x→ 0 ∆ f-ті d f, ∆ x→ 0 ∆ x-ті d x деп белгілесек, дифференциалдың анықтамасы қатаң түрде алынады.
Мысалы, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] функциясының дифференциалы [latex](3x^{2}+4)dx[/латекс].
Екі немесе одан да көп айнымалы функциялар жағдайында функцияның толық дифференциалы тәуелсіз айнымалылардың әрқайсысының бағыттарындағы дифференциалдардың қосындысы ретінде анықталады. Математикалық түрде оны [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex] ретінде көрсетуге болады..
Туынды мен дифференциалдың айырмашылығы неде?
• Туынды функцияның өзгеру жылдамдығын білдіреді, ал дифференциал тәуелсіз айнымалы өзгеріске ұшыраған кезде функцияның нақты өзгерісін білдіреді.
• Туынды [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ арқылы берілген. h}[/latex], бірақ дифференциал [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] арқылы берілген.
