Айырма теңдеуі және дифференциалдық теңдеу
Табиғат құбылысын математикалық түрде бірқатар тәуелсіз айнымалылар мен параметрлердің функциялары арқылы сипаттауға болады. Әсіресе, олар кеңістіктік орын мен уақыт функциясымен өрнектелсе, бұл теңдеулерге әкеледі. Функция тәуелсіз айнымалылар немесе параметрлердің өзгеруіне байланысты өзгеруі мүмкін. Функцияның айнымалыларының бірі өзгерген кезде болатын шексіз аз өзгеріс сол функцияның туындысы деп аталады.
Дифференциалдық теңдеу дегеніміз функцияның туындыларымен қатар функцияның өзін қамтитын кез келген теңдеу. Қарапайым дифференциалдық теңдеу Ньютонның екінші қозғалыс заңының теңдеуі болып табылады. Егер массасы m болатын зат «a» үдеуімен қозғалса және оған F күші әсер етсе, онда Ньютонның екінші заңы F=ma екенін айтады. Мұнда тағы да «a» уақыт бойынша өзгереді, біз «a» деп қайта жаза аламыз; a=dv/dt; v – жылдамдық. Жылдамдық кеңістік пен уақыт функциясы, яғни v=ds/dt; сондықтан ‘a’=d2s/dt2
Осыларды есте сақтай отырып, Ньютонның екінші заңын дифференциалдық теңдеу ретінде қайта жаза аламыз;
‘F’ v және t функциясы ретінде – F(v, t)=mdv/dt, немесе
'F' s және t функциясы ретінде – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Дифференциалдық теңдеулердің екі түрі бар; қарапайым дифференциалдық теңдеу, қысқартылған ODE немесе толық емес дифференциалдық теңдеу, қысқартылған PDE. Жай дифференциалдық теңдеуде кәдімгі туындылар (тек бір айнымалының туындылары) болады. Жартылай дифференциалдық теңдеуде дифференциалдық туындылар (бірден көп айнымалылардың туындылары) болады.
мысалы F=m d2s/dt2 – ODE, ал α2 d 2u/dx2=du/dt – PDE, оның t және x туындылары бар.
Айырма теңдеуі дифференциалдық теңдеумен бірдей, бірақ біз оны басқа контексте қарастырамыз. Дифференциалдық теңдеулерде уақыт сияқты тәуелсіз айнымалы үздіксіз уақыт жүйесінің контекстінде қарастырылады. Дискретті уақыт жүйесінде функцияны айырма теңдеуі деп атаймыз.
Айырма теңдеуі – айырмашылықтардың функциясы. Тәуелсіз айнымалылардағы айырмашылықтар үш түрге бөлінеді; сан тізбегі, дискретті динамикалық жүйе және қайталанатын функция.
Сандар тізбегі бойынша өзгерту реттегі әрбір санды реттегі алдыңғы сандармен байланыстыру ережесін пайдаланып рекурсивті түрде жасалады.
Дискретті динамикалық жүйедегі айырмашылық теңдеуі кейбір дискретті кіріс сигналын қабылдайды және шығыс сигналын шығарады.
Айырма теңдеуі – қайталанатын функция үшін қайталанатын карта. Мысалы, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….итерацияланған функция тізбегі. f(y0) – y0 бірінші итерраты K-итерат fk арқылы белгіленеді (y0).
