Орташа және медианаға қарсы режим
Орташа, медиана және режим - сипаттамалық статистикада қолданылатын орталық тенденцияның негізгі өлшемдері. Олар бір-бірінен мүлде ерекшеленеді және деректерді қорытындылау үшін қолданылатын жағдайлар да әртүрлі.
Орташа
Орташа арифметикалық – деректер мәндерінің санына бөлінген деректер мәндерінің қосындысы, яғни
[латекс]\бар{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+x_{2} +x_{3}+…+x_{n}}{n}[/latex]
Егер деректер іріктеме кеңістігінен болса, ол үлгі ортасы ([латекс]\бар{x} [/латекс]) деп аталады, бұл үлгінің сипаттама статистикасы. Бұл іріктеме үшін ең жиі қолданылатын сипаттама көрсеткіші болса да, ол сенімді статистика емес. Ол шектен тыс мәндерге және тербелістерге өте сезімтал.
Мысалы, белгілі бір қала тұрғындарының орташа табысын алайық. Барлық деректер мәндері жинақталып, содан кейін бөлінгендіктен, өте бай адамның кірісі орташа мәнге айтарлықтай әсер етеді. Демек, орташа мәндер әрқашан деректердің жақсы көрінісі бола бермейді.
Сонымен қатар, айнымалы сигнал жағдайында элемент арқылы өтетін ток периодты түрде оң бағыттан теріс бағытқа және керісінше өзгереді. Егер бір периодта элемент арқылы өтетін орташа токты алсақ, ол 0 мәнін береді, яғни элемент арқылы ток өткен жоқ, бұл анық емес. Сондықтан бұл жағдайда да орташа арифметикалық көрсеткіш жақсы көрсеткіш емес.
Деректер біркелкі бөлінгенде орташа арифметикалық көрсеткіш жақсы көрсеткіш болып табылады. Қалыпты таралу үшін орташа мән режим мен медианаға тең. Ол сондай-ақ орташа квадраттық қатені қарастырғанда ең аз қалдыққа ие; сондықтан деректер жиынын бір санмен көрсету қажет болғанда ең жақсы сипаттаушы өлшем.
Медиан
Барлық деректер мәндерін өсу ретімен реттегеннен кейінгі ортаңғы деректер нүктесінің мәндері деректер жиынының медианасы ретінде анықталады. Медиана - 2-квартиль, 5-дециль және 50-процентиль.
• Егер бақылаулар саны (деректер нүктелері) тақ болса, медиана реттелген тізімнің дәл ортасында орналасқан бақылау болып табылады.
• Егер бақылаулар саны (деректер нүктелері) жұп болса, онда медиана реттелген тізімдегі екі ортаңғы бақылаудың орташа мәні болып табылады.
Медиан бақылауды екі топқа бөледі; яғни медианадан жоғары мәндер тобы (50%) және мәндер тобы (50%). Медиандар бұрмаланған үлестірімде арнайы пайдаланылады және деректерді орташа арифметикалық мәннен әлдеқайда жақсырақ көрсетеді.
Режим
Режим - бақылаулар жинағындағы ең көп кездесетін сан. Деректер жиынының режимі жиын ішіндегі әрбір элементтің жиілігін табу арқылы есептеледі.
• Ешбір мән бірнеше рет орын алмаса, деректер жинағында режим болмайды.
• Әйтпесе, ең үлкен жиілікте пайда болатын кез келген мән деректер жиынының режимі болып табылады.
Жинақта 1-ден көп режим болуы мүмкін; сондықтан режим деректер жиынының бірегей статистикасы емес. Біркелкі бөлуде бір режим бар. Дискретті ықтималдықтың таралу режимі ықтималдық массасының функциясы ең жоғары нүктеге жететін нүкте болып табылады. Жоғарыдағы интерпретацияларды көрсете отырып, жаһандық максималды режимдер деп айта аламыз.
Төмендегі деректер жинағына барлық үш өлшемнің қолданылуын қарастырыңыз.
ДЕРЕКТЕР: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 14, 14, 15, 15, 15}
Орташа=(1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 5+ 5+ 5+ 6+ 6+ 8+ 8+ 9+ 9+ 9+ 9+ 10+ 10+ 10+ 14+ 14+ 15+ 15+ 15) / 25=8,12
Медиан=9 (13-ші элемент)
Режим=9 (9=5 жиілігі)
Орташа, медиана және режимнің айырмашылығы неде?
• Арифметикалық орта – бақылаулар санына бөлінген мәндердің (бақылаулардың) қосындысы. Бұл сенімді статистика емес және қарастырылатын үлестірімдегі қалыпты таралу сипатына қатты тәуелді. Жалғыз шектен тыс мән салыстырмалы түрде жаңылыстыратын мән беретін орташа мәннің айтарлықтай өзгеруіне әкелуі мүмкін. Тұжырымдаманы геометриялық орта, гармоникалық орта, салмақты орташа және т.б. дейін кеңейтуге болады.
• Медиана – бақылаулар жиынының ортаңғы мәндері және оған ауытқулар салыстырмалы түрде аз әсер етеді. Ол өте бұрмаланған жағдайларда жиынтық статистика ретінде жақсы баға беруі мүмкін.
• Режим деректер жиынындағы ең көп таралған бақылау мәндері болып табылады. Егер үлестірім оң қисық болса, режим медианаға солға қарай, ал теріс бұрмаланған болса, режим медианаға оңға қарай орналасады.
• Егер оң қисайған болса, орташа мән медианаға тура келеді; егер теріс қиғаш орташа мән медиананың сол жағында болса.
• Қалыпты таралуда үшеуі де, орташа, режим және медиана тең.
