Ассоциативті және коммутативті
Күнделікті өмірімізде бір нәрсенің өлшемін алу үшін сандарды қолдануға тура келеді. Азық-түлік дүкенінде, жанармай құю станциясында, тіпті ас үйде екі немесе одан да көп шамаларды қосу, азайту және көбейту керек. Біздің тәжірибемізден біз бұл есептеулерді оңай орындаймыз. Біз бұл операцияларды неге дәл осылай жасайтынымызды ешқашан байқамаймыз немесе сұрамаймыз. Немесе бұл есептеулерді неге басқаша жасауға болмайды. Жауап бұл амалдардың алгебраның математикалық өрісінде анықталғанында жасырылған.
Алгебрада екі шаманы қамтитын амал (қосу сияқты) екілік амал ретінде анықталады. Дәлірек айтқанда, бұл жиынның екі элементі арасындағы операция және бұл элементтер «операнд» деп аталады. Математикадағы көптеген операцияларды, соның ішінде жоғарыда айтылған арифметикалық амалдарды және жиындар теориясында, сызықтық алгебрада және математикалық логикада кездесетіндерді екілік амалдар ретінде анықтауға болады.
Нақты екілік операцияға қатысты басқаратын ережелер жинағы бар. Ассоциативті және коммутативті сипаттар екілік амалдардың екі негізгі қасиеті болып табылады.
Коммутативті меншік туралы толығырақ
А және В элементтерінде ⊗ белгісімен белгіленген екілік операция орындалды делік. Егер операндтардың реті операцияның нәтижесіне әсер етпесе, онда операция коммутативті деп аталады. яғни A ⊗ B=B ⊗ A болса, операция коммутативті болады.
Қосу және көбейту арифметикалық амалдары ауыстырымды болып табылады. Қосылған немесе бірге көбейтілген сандардың реті соңғы жауапқа әсер етпейді:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Бірақ бөлу кезінде реттің өзгеруі екіншісінің кері мәнін береді, ал азайтуда өзгеріс екіншісінің теріс мәнін береді. Сондықтан, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 және 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 және 5 ÷ 4=1,25 [бұл жағдайда A, B ≠ 1 және 0]
Шын мәнінде, азайту антикоммутативті деп айтылады; мұндағы A – B=– (B – A).
Сонымен қатар логикалық жалғаулықтар, конъюнкция, дизъюнкция, импликация және эквиваленттілік те ауыстырымды болады. Ақиқат функциялары да коммутативті. Орнатылған операциялардың бірігуі және қиылысы коммутативті. Векторлардың қосу және скаляр көбейтіндісі де коммутативті болады.
Бірақ векторды алу және векторлық көбейтінді коммутативті емес (екі вектордың векторлық көбейтіндісі антикоммутативті). Матрицаны қосу коммутативті, бірақ көбейту мен азайту коммутативті емес.(Екі матрицаны көбейту ерекше жағдайларда коммутативті болуы мүмкін, мысалы, матрицаны кері немесе сәйкестік матрицасымен көбейту; бірақ матрицалардың өлшемдері бірдей болмаса, матрицалар ауыспалы болмайды)
Ассоциативті меншік туралы толығырақ
Оператордың екі немесе одан да көп қайталануы болған кезде орындалу реті нәтижеге әсер етпесе, екілік операция ассоциативті деп аталады. A, B және C элементтерін және екілік операцияны қарастырайық ⊗. ⊗ операциясы ассоциативті деп айтылады, егер
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Негізгі арифметикалық функциялардан тек қосу және көбейту ғана ассоциативті болады.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Алу және бөлу ассоциативті емес;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 және (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 және (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Дизъюнкция, конъюнкция және эквиваленттік логикалық қосылғыштар ассоциативті болып табылады, сондай-ақ жиын операцияларының бірігуі мен қиылысы. Матрица мен векторды қосу ассоциативті. Векторлардың скаляр көбейтіндісі ассоциативті, ал векторлық көбейтіндісі емес. Матрицаны көбейту тек ерекше жағдайларда ғана ассоциативті болады.
Коммутативті және ассоциативті меншіктің айырмашылығы неде?
• Ассоциативті сипат та, ауыспалы сипат та екілік амалдардың арнайы қасиеттері болып табылады және кейбіреулері оларды қанағаттандырады, ал кейбіреулері қанағаттандырмайды.
• Бұл қасиеттерді алгебралық амалдардың және математикадағы басқа екілік амалдардың көптеген түрлерінде көруге болады, мысалы, жиын теориясындағы қиылысу және бірігу немесе логикалық қосылғыштар.
• Коммутативті және ассоциативті арасындағы айырмашылық мынада: коммутативті сипат элементтер реті түпкілікті нәтижені өзгертпейтінін, ал ассоциативті сипат операцияның орындалу реті соңғы жауапқа әсер етпейтінін айтады..
