Гипербола және Эллипс
Конусты әртүрлі бұрыштармен кескенде, конустың жиегі әртүрлі қисықтарды белгілейді. Бұл қисықтарды жиі конустық қималар деп атайды. Дәлірек айтсақ, конустық қима деп тік дөңгелек конустық бетті жазық бетпен қиылысу арқылы алынған қисық сызықты айтады. Әр түрлі қиылысу бұрыштарында әртүрлі конустық қималар берілген.
Гипербола да, эллипс те конустық қималар және олардың айырмашылықтарын осы контексте оңай салыстыруға болады.
Эллипс туралы толығырақ
Конус беті мен жазық беттің қиылысуы тұйық қисық түзсе, ол эллипс деп аталады. Оның нөл мен бір (0<e<1) арасында эксцентриситет бар. Оны екі бекітілген нүктеден нүктеге дейінгі қашықтықтардың қосындысы тұрақты болып қалатындай жазықтықтағы нүктелер жиынының локусы ретінде де анықтауға болады. Бұл екі бекітілген нүкте «фокус» деп аталады. (Есіңізде болсын; бастауыш математика сабақтарында эллипс екі бекітілген түйреуішке байланған жіп немесе жол ілмегі мен екі түйреуіш арқылы салынады.)
Фокустар арқылы өтетін сызық кесіндісі үлкен ось, ал үлкен оське перпендикуляр және эллипстің ортасынан өтетін ось кіші ос деп аталады. Әрбір ось бойындағы диаметрлер сәйкесінше көлденең диаметр және конъюгат диаметрі ретінде белгілі. Үлкен осьтің жартысы жартылай үлкен ось ретінде белгілі, ал кіші осьтің жартысы жартылай кіші ось ретінде белгілі.
Әрбір нүкте F1 және F2 эллипс фокустары ретінде белгілі және F1 + PF2 =2a, мұндағы P – эллипстегі ерікті нүкте. Эксцентриситет e фокустан ерікті нүктеге дейінгі қашықтық (PF 2) мен директрисадан (PD) ерікті нүктеге перпендикуляр қашықтық арасындағы қатынас ретінде анықталады. Ол сондай-ақ екі фокус пен жартылай негізгі ось арасындағы қашықтыққа тең: e=PF/PD=f/a
Жартылай үлкен және жартылай кіші ось декарттық осьтермен сәйкес келетін эллипстің жалпы теңдеуі келесідей берілген.
x2/a2 + y2/b2=1
Эллипс геометриясының көптеген қолданбалары бар, әсіресе физикада. Күн жүйесіндегі планеталардың орбиталары күн бір фокуста болатын эллипс тәрізді. Антенналар мен акустикалық құрылғыларға арналған шағылыстырғыштар фокустағы кез келген сәуле басқа фокусқа жақындайтынын пайдалану үшін эллиптикалық пішінде жасалған.
Гипербола туралы толығырақ
Гипербола да конустық кесінді, бірақ оның ұшы ашық. Гипербола термині суретте көрсетілген екі ажыратылған қисықтарға жатады. Гиперболаның қолдары немесе тармақтары эллипс сияқты жабылмай, шексіздікке дейін жалғасады.
Екі тармақтың арақашықтығы ең қысқа болатын нүктелер шыңдар деп аталады. Төбелерден өтетін түзу үлкен ось немесе көлденең ось ретінде қарастырылады және ол гиперболаның басты осінің бірі болып табылады. Параболаның екі фокусы да үлкен осьте жатыр. Екі төбенің арасындағы түзудің ортаңғы нүктесі центр, ал сызық кесіндісінің ұзындығы жартылай үлкен ось болып табылады. Жартылай үлкен осьтің перпендикуляр биссектрисасы басқа бас ось болып табылады, ал гиперболаның екі қисығы осы осьтің айналасында симметриялы. Параболаның эксцентриситеті бірден үлкен; e > 1.
Егер бас осьтер декарттық осьтермен сәйкес келсе, гиперболаның жалпы теңдеуі келесідей болады:
x2/a2 – y2/b2=1,
мұндағы a - жартылай негізгі ось және b - орталықтан кез келген фокусқа дейінгі қашықтық.
Ашық ұштары х осіне қараған гиперболалар шығыс-батыс гиперболалары деп аталады. Ұқсас гиперболаларды у осінде де алуға болады. Бұлар у осі гиперболалары ретінде белгілі. Мұндай гиперболалар үшін теңдеутүрінде болады.
y2/a2 – x2/b2=1
Гипербола мен эллипстің айырмашылығы неде?
• Эллипс те, гипербола да конустық қималар, бірақ эллипс тұйық қисық, ал гипербола екі ашық қисықтан тұрады.
• Демек, эллипстің периметрі шектеулі, бірақ гиперболаның шексіз ұзындығы бар.
• Екеуі де үлкен және кіші осьтердің айналасында симметриялы, бірақ директрисаның орны әр жағдайда әртүрлі. Эллипсте ол жартылай үлкен осьтің сыртында, ал гиперболада ол жартылай үлкен осьте жатыр.
• Екі конустық бөліктің эксцентриситеттері әртүрлі.
0 <eЭлипс < 1
eГипербола > 0
• Екі қисықтың жалпы теңдеуі бірдей көрінеді, бірақ олар әртүрлі.
• Үлкен осьтің перпендикуляр биссектрисасы эллипстегі қисықпен қиылысады, бірақ гиперболада емес.
(Сурет көзі: Wikipedia)
