Риман интегралы мен Лебег интегралы арасындағы айырмашылық

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 13:43

Риман интегралы және Лебег интегралы

Интеграция - есептеудегі негізгі тақырып. Кеңірек мағынада интеграцияны дифференциацияның кері процесі ретінде қарастыруға болады. Нақты есептерді модельдеу кезінде туындылары бар өрнектерді жазу оңай. Мұндай жағдайда белгілі бір туындыны берген функцияны табу үшін интеграциялық операция қажет.

Басқа жағынан алғанда, интегралдау ƒ(x) және δx функциясының туындысын қорытындылайтын процесс, мұнда δx белгілі бір шек болуға бейім. Сондықтан біз интеграция таңбасын ∫ ретінде қолданамыз. ∫ символы шын мәнінде, қосындыға сілтеме жасау үшін s әрпін созу арқылы аламыз.

Риман интегралы

y=ƒ(x) функциясын қарастырайық. a және b арасындағы y интегралы, мұндағы a және b x жиынына жатады, _b ∫ ^a ƒ(x) dx түрінде жазылады.=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Бұл a мен b арасындағы y=ƒ(x) бір мәнді және үздіксіз функцияның анықталған интегралы деп аталады. Бұл a және b арасындағы қисық астындағы ауданды береді. Мұны Риман интегралы деп те атайды. Риман интегралын Бернхард Риман құрған. Үздіксіз функцияның Риман интегралы Иордан өлшеміне негізделген, сондықтан ол функцияның Риман қосындыларының шегі ретінде де анықталады. Тұйық аралықта анықталған нақты мәнді функция үшін x₁, x₂, …, x бөліміне қатысты функцияның Риман интегралы. n _{[a, b] және t}1_{, t}2_{, …, t аралықтарында анықталған n}, мұнда x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 әрбір i ε {1, 2, …, n}, Риман қосындысы Σ_{i=o – n-1} ƒ(t_i ретінде анықталады.)(x_i+1 – x_i).

Лебесг интегралы

Лебесг – Риман интегралдарынан гөрі көп жағдайларды қамтитын интегралдың басқа түрі. Лебесг интегралын 1902 жылы Анри Лебесг енгізді. Легесг интегралын Риман интеграциясының жалпылауы ретінде қарастыруға болады.

Неге бізге басқа интегралды зерттеу керек?

Сипаттамалы функцияны қарастырайық ƒ_{A (x)=}{_{0, егер, x емес ε A}^{1 егер, x ε A}А жиынында. Сонда F (x)=Σ a_{i ретінде анықталатын сипаттамалық функциялардың соңғы сызықтық комбинациясы. ƒ E} i_{(x) қарапайым функция деп аталады, егер E} i _{әрбір i үшін өлшенетін болса. Е бойынша F (x) дің Лебег интегралы} E_{∫ ƒ(x)dx арқылы белгіленеді. F (x) функциясы Риманның интегралдануы емес. Сондықтан Лебег интегралы Риман интегралы болып табылады, оның интегралданатын функцияларға кейбір шектеулері бар.}

Риман интегралы мен Лебег интегралының айырмашылығы неде?

· Лебег интегралы Риман интегралының жалпылау түрі болып табылады.

· Лебег интегралы үзілістердің есептелетін шексіздігіне мүмкіндік береді, ал Риман интегралы үзілістердің ақырлы санына мүмкіндік береді.