Арифметикалық реттілік пен геометриялық реттілік арасындағы айырмашылық

2024 Автор: Alex Aldridge | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-17 23:38

Арифметикалық реттілік пен геометриялық реттілік

Сандардың заңдылықтарын және олардың мінез-құлқын зерттеу математика саласындағы маңызды зерттеу болып табылады. Көбінесе бұл заңдылықтар табиғатта көрінеді және олардың мінез-құлқын ғылыми тұрғыдан түсіндіруге көмектеседі. Арифметикалық реттілік және геометриялық реттілік сандарда кездесетін және табиғат құбылыстарында жиі кездесетін екі негізгі үлгі болып табылады.

Тізбектелген сандар жиыны. Тізбектегі элементтер саны ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін.

Арифметикалық реттілік (Арифметриялық прогрессия) туралы толығырақ

Арифметикалық реттілік әрбір қатардағы мүшенің арасындағы тұрақты айырмасы бар сандар тізбегі ретінде анықталады. Ол арифметикалық прогрессия ретінде де белгілі.

Арифметикалық реттілік ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; мұнда a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d және т.б.}

Егер бастапқы мүше a₁ болса және ортақ айырма d болса, онда тізбектің n^{-ші мүшесі берілген;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Жоғарыдағы нәтижені әрі қарай жалғастыра отырып, n^{-ші терминін де беруге болады;}

a_n =a_m + (n-m)d, мұндағы a_{m кездейсоқ термин n > м. болатындай ретпен}

Жұп сандар жиыны және тақ сандар жиыны арифметикалық қатарлардың ең қарапайым мысалдары болып табылады, мұнда әрбір тізбегінің 2 ортақ айырмашылығы (d) болады.

Тізбектегі терминдер саны шексіз немесе ақырлы болуы мүмкін. Шексіз жағдайда (n → ∞) реттілік ортақ айырмашылыққа байланысты шексіздікке ұмтылады (a_{n → ±∞). Егер ортақ айырмашылық оң болса (d > 0), реттілік оң шексіздікке ұмтылады, ал егер ортақ айырмашылық теріс болса (d < 0), ол теріс шексіздікке ұмтылады. Шарттар ақырлы болса, реттілік те ақырлы болады.}

Арифметикалық қатардағы терминдердің қосындысы арифметикалық қатар ретінде белгілі: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{және S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] мәнін береді серия (S}n)

Геометриялық реттілік (геометриялық прогрессия) туралы толығырақ

Геометриялық реттілік кез келген екі қатарынан мүшенің бөлімі тұрақты болатын тізбек ретінде анықталады. Бұл геометриялық прогрессия деп те аталады.

Геометриялық реттілік ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; мұнда a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r және т.б., мұнда r нақты сан.}

Ортақ қатынас (r) және бастапқы мүше (a) арқылы геометриялық тізбекті көрсету оңайырақ. Осыдан геометриялық реттілік ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

aⁿ =a₁r арқылы берілген n_th терминдердің жалпы түрі ^n-1. (Бастапқы терминнің жазылуын жоғалту ⇒ a_n =ar^n-1)

Геометриялық реттілік ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін. Егер мүшелер саны ақырлы болса, тізбек ақырлы деп аталады. Ал егер терминдер шексіз болса, r қатынасына байланысты реттілік не шексіз, не ақырлы болуы мүмкін. Жалпы қатынас геометриялық тізбектердегі көптеген қасиеттерге әсер етеді.

r > o	0 < r < +1	Тізім жинақталады – экспоненциалды ыдырау, яғни an → 0, n → ∞
	r=1	Тұрақты реттілік, яғни an=тұрақты
	r > 1	Тізбек ажыратылады – экспоненциалды өсу, яғни an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Тізбек тербеледі, бірақ жинақталады
	r=1	Тізім ауыспалы және тұрақты, яғни an=±тұрақты
	r < -1	Тізбек кезектесіп және алшақтайды. яғни an → ±∞, n → ∞
r=0	Тізбек нөлдер жолы

Ескертпе: Жоғарыда көрсетілген барлық жағдайларда, a₁ > 0; егер a₁ < 0 болса, a_{n қатысты белгілер төңкеріледі.}

Доптың серпілулері арасындағы уақыт аралығы идеалды үлгідегі геометриялық реттілікке сәйкес келеді және ол конвергентті тізбек болып табылады.

Геометриялық қатар мүшелерінің қосындысы геометриялық қатар ретінде белгілі; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Геометриялық қатардың қосындысын келесі формула арқылы есептеуге болады.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); мұндағы a – бастапқы мүше және r – қатынас.}

Егер қатынас, r ≤ 1 болса, қатар жинақталады. Шексіз қатар үшін жинақтылық мәні S_{n=a/(1-r) арқылы берілген.}

Арифметикалық және геометриялық тізбек/прогрессияның айырмашылығы неде?

• Арифметикалық қатарда кез келген екі қатарлы мүшенің ортақ айырмашылығы (d), ал геометриялық қатарда кез келген екі қатарлы мүшенің тұрақты бөлімі (r) болады.

• Арифметикалық тізбекте мүшелердің вариациясы сызықтық болады, яғни барлық нүктелер арқылы өтетін түзу сызықты жүргізуге болады. Геометриялық қатарда вариация экспоненциалды; ортақ арақатынас негізінде өсу немесе ыдырау.

• Барлық шексіз арифметикалық қатарлар дивергентті, ал шексіз геометриялық қатарлар дивергентті немесе жинақты болуы мүмкін.

• r қатынасы теріс болса, геометриялық қатар тербелісті көрсете алады, ал арифметикалық қатар тербелісті көрсетпейді