Популяция және үлгі стандартты ауытқу
Статистикада оның орталық үрдісіне, дисперсиясына және қиғаштығына сәйкес деректер жинағын сипаттау үшін бірнеше индекстер пайдаланылады. Стандартты ауытқу деректер жинағының ортасынан деректер дисперсиясының ең көп тараған өлшемдерінің бірі болып табылады.
Тәжірибелік қиындықтарға байланысты гипотеза сыналған кезде бүкіл топтан алынған деректерді пайдалану мүмкін болмайды. Сондықтан біз жиынтық туралы қорытынды жасау үшін үлгілерден алынған деректер мәндерін пайдаланамыз. Мұндай жағдайда олар бағалаушылар деп аталады, өйткені олар жиынтық параметр мәндерін бағалайды.
Қорытынды жасауда бейтарап бағалаушыларды пайдалану өте маңызды. Бағалаушының күтілетін мәні жиынтық параметріне тең болса, бағалаушы бейтарап деп аталады. Мысалы, біз жиынтық орташа мән үшін бейтарап бағалаушы ретінде таңдамалы ортаны қолданамыз. (Математикалық тұрғыдан таңдамалы орташа мәннің күтілетін мәні жалпы жиынтық орташаға тең екенін көрсетуге болады). Бастапқы стандартты ауытқуды бағалау жағдайында үлгілік стандартты ауытқу да бейтарап бағалаушы болып табылады.
Популяцияның стандартты ауытқуы дегеніміз не?
Бүкіл халықтан алынған мәліметтерді есепке алу кезінде (мысалы, санақ жағдайында) халықтың стандартты ауытқуын есептеуге болады. Басшылықтың стандартты ауытқуын есептеу үшін алдымен деректер мәндерінің жиынтық орташа мәннен ауытқулары есептеледі. Ауытқулардың орташа квадраттық квадраты (орташа квадраттық) жалпы стандартты ауытқу деп аталады.
10 оқушыдан тұратын сыныпта оқушылар туралы деректерді оңай жинауға болады. Егер студенттердің осы тобына гипотеза тексерілсе, онда үлгі мәндерін пайдаланудың қажеті жоқ. Мысалы, 10 оқушының салмағы (килограммен) 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 және 79 болып өлшенеді. Сонда он адамның орташа салмағы (килограммен) болады. (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, бұл 71 (килограммда). Бұл халықтың орташа саны.
Енді жалпы стандартты ауытқуды есептеу үшін орташадан ауытқуларды есептейміз. Орташа мәннен сәйкес ауытқулар (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 және (79 – 71)=8. Ауытқу квадраттарының қосындысы (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. Халықтың стандартты ауытқуы √(366/10)=6,05 (килограммен). 71 - сынып оқушыларының нақты орташа салмағы және 6.05 - салмақтың 71-ден дәл стандартты ауытқуы.
Үлгідегі стандартты ауытқу дегеніміз не?
Іріктемеден алынған деректер (n өлшемі) жиынтық параметрлерін бағалау үшін пайдаланылғанда, таңдаманың стандартты ауытқуы есептеледі. Алдымен деректер мәндерінің таңдамалы орташа мәннен ауытқулары есептеледі. Орташа іріктеме жиынтық орташа мәннің орнына қолданылғандықтан (ол белгісіз), квадраттық ортаны алу орынды емес. Орташа таңдауды пайдалануды өтеу үшін ауытқу квадраттарының қосындысы n орнына (n-1) бөлінеді. Үлгі стандартты ауытқуы оның квадрат түбірі болып табылады. Математикалық белгілерде S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, мұнда S – үлгілік стандартты ауытқу, ẍ – үлгінің орташа мәні және xi – деректер нүктелері.
Енді, алдыңғы мысалдағы халықты бүкіл мектептің оқушылары деп есептейік. Сонда сынып тек үлгі болады. Егер бұл үлгі бағалауда пайдаланылса, үлгінің стандартты ауытқуы √(366/9)=6 болады.38 (килограмммен) өйткені 366 саны 10-ның орнына 9-ға бөлінді (үлгі өлшемі). Байқауға болатын факт, бұл популяцияның стандартты ауытқуының дәл мәніне кепілдік берілмейді. Бұл жай ғана болжам.
Популяцияның стандартты ауытқуы мен үлгі стандартты ауытқуының айырмашылығы неде?
• Популяцияның стандартты ауытқуы орталықтан дисперсияны өлшеу үшін қолданылатын нақты параметр мәні, ал үлгідегі стандартты ауытқу ол үшін бейтарап бағалаушы болып табылады.
• Популяцияның стандартты ауытқуы популяцияның әрбір жеке тұлғасына қатысты барлық деректер белгілі болған кезде есептеледі. Әйтпесе үлгідегі стандартты ауытқу есептеледі.
• Популяцияның стандартты ауытқуы σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} арқылы берілген, мұнда µ – популяцияның орташа мәні және n – популяция саны, бірақ үлгінің стандартты ауытқуы S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} арқылы берілген, мұндағы ẍ – іріктеменің орташа мәні және n – таңдама мөлшері.
