Интеграция және дифференциация
Интеграция және дифференциация - өзгерісті зерттейтін есептеудегі екі негізгі ұғым. Есептеудің ғылым, экономика немесе қаржы, инженерия және т.б. сияқты көптеген салаларда кең ауқымды қолданбалары бар.
Дифференциация
Дифференциялау – туындыларды есептеудің алгебралық процедурасы. Функцияның туындысы деп кез келген берілген нүктедегі қисық сызықтың (графиктің) еңісі немесе градиенті болып табылады. Кез келген берілген нүктедегі қисық градиенті – берілген нүктеде осы қисыққа жүргізілген жанаманың градиенті. Сызықты емес қисықтар үшін қисық градиенті ось бойындағы әртүрлі нүктелерде өзгеруі мүмкін. Сондықтан кез келген нүктедегі градиент немесе еңісті есептеу қиын. Дифференциация процесі кез келген нүктедегі қисық градиентін есептеуде пайдалы.
Туынды құралдың тағы бір анықтамасы «басқа сипатты бірліктің өзгеруіне қатысты сипаттың өзгеруі».
f(x) тәуелсіз x айнымалысының функциясы болсын. Егер х тәуелсіз айнымалысында шағын өзгеріс (∆x) туындаса, f(x) функциясында сәйкес ∆f(x) өзгерісі туындайды; онда ∆f(x)/∆x қатынасы x-ке қатысты f(x) өзгеру жылдамдығының өлшемі болып табылады. Бұл қатынастың шекті мәні, өйткені ∆x нөлге ұмтылады, lim∆x→0(f(x)/∆x) f(x) функциясының бірінші туындысы деп аталады., x-ке қатысты; басқаша айтқанда, берілген x нүктесіндегі f(x) лезде өзгерісі.
Интеграция
Интеграция – белгілі бір интегралды немесе анықталмаған интегралды есептеу процесі. Нақты f(x) функциясы және нақты түзудегі тұйық [a, b] интервалы үшін анықталған интеграл, a∫b f(x), функция графигі, көлденең ось және интервалдың соңғы нүктелеріндегі екі тік сызық арасындағы аудан ретінде анықталады. Белгілі бір интервал берілмесе, ол белгісіз интеграл ретінде белгілі. Анықталған интегралды антитуындыларды пайдаланып есептеуге болады.
Интеграция мен дифференциацияның айырмашылығы неде?
Интеграция мен дифференциацияның айырмашылығы «шаршылау» мен «шаршы түбір алу» арасындағы айырмашылық сияқты. Оң санның квадратын алсақ, содан кейін нәтиженің квадрат түбірін алсақ, оң квадрат түбір мәні сіз квадраттаған сан болады. Сол сияқты, үздіксіз f(x) функциясын дифференциалдау арқылы алынған нәтижеге интеграцияны қолдансаңыз, ол бастапқы функцияға оралады және керісінше.
Мысалы, F(x) f(x)=x функциясының интегралы болсын, сондықтан F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, мұндағы c - ерікті тұрақты. F(x)-ті х-қа қатысты дифференциалдағанда, F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x аламыз, сондықтан F(x) туындысы f(x).
Қорытынды
– Дифференциация қисықтың еңісін есептейді, ал интеграция қисық астындағы ауданды есептейді.
– Интеграция – дифференциацияның кері процесі және керісінше.
