Интеграция және жиынтық
Жоғары мектеп математикасында интеграция мен жинақтау жиі математикалық операцияларда кездеседі. Олар әртүрлі құралдар ретінде және әртүрлі жағдайларда пайдаланылады, бірақ олар өте тығыз қарым-қатынаста.
Қорытындылау туралы толығырақ
Қорытындылау – бұл сандар тізбегін қосу операциясы және операция көбінесе гректің бас сигма Σ әрпімен белгіленеді. Ол қосындыны қысқарту үшін қолданылады және қатардың қосындысына/жалпысына тең. Олар көбінесе жиынтықталған шексіз тізбектер болып табылатын қатарды көрсету үшін қолданылады. Оларды векторлардың, матрицалардың немесе көпмүшелердің қосындысын көрсету үшін де пайдалануға болады.
Қосындылау әдетте жалпы термині бар қатар сияқты жалпы терминмен ұсынылуы мүмкін мәндер ауқымы үшін жасалады. Қосындының бастапқы және соңғы нүктесі сәйкесінше қосындының төменгі және жоғарғы шегі ретінде белгілі.
Мысалы, a1, a2, a3, a ретінің қосындысы 4, …, an – a1 + a2 + a 3 + … + an, ол ∑ ретінде қосынды белгісін пайдаланып оңай ұсынылуы мүмкін i=1 ai; i қосынды индексі деп аталады.
Қосындылау үшін қолданбаға негізделген көптеген нұсқалар пайдаланылады. Кейбір жағдайларда жоғарғы және төменгі шекара ∑1≤i≤100 ai сияқты интервал немесе ауқым ретінде берілуі мүмкін. ∑i∈[1, 100] ai Немесе оны ∑i∈P сияқты сандар жиыны ретінде беруге болады ai, мұндағы P – анықталған жиын.
Кейбір жағдайларда екі немесе одан да көп сигма белгілерін қолдануға болады, бірақ оларды келесідей жалпылауға болады; ∑j ∑k ajk =∑j, k a jk.
Сонымен қатар, қосынды көптеген алгебралық ережелерге бағынады. Енгізілген операция қосу болғандықтан, алгебраның көптеген ортақ ережелерін қосындылардың өзіне және қосындымен бейнеленген жеке шарттарға қолдануға болады.
Интеграция туралы толығырақ
Интеграция дифференциацияның кері процесі ретінде анықталады. Бірақ оның геометриялық көрінісінде оны функция мен осьтің қисығымен қоршалған аудан ретінде де қарастыруға болады. Сондықтан ауданды есептеу диаграммада көрсетілгендей анықталған интегралдың мәнін береді.
Сурет көзі:
Анықталған интегралдың мәні шын мәнінде қисық пен осьтің ішіндегі шағын жолақтардың қосындысы болып табылады. Әрбір жолақтың ауданы қарастырылатын осьтегі нүктедегі биіктігі × ені болып табылады. Ені - біз таңдай алатын мән, айталық ∆x. Ал биіктік - қарастырылатын нүктедегі функцияның шамамен мәні, айталық, f (xi). Диаграммадан жолақтар неғұрлым кішірек болса, жолақтар шектелген аумаққа жақсырақ орналасатыны анық, демек, мән жақсырақ жақындайды.
Сонымен, a және b нүктелері арасындағы (яғни [a, b] аралықта, мұнда a<b) жалпы анықталған I интегралы I ≅ f (x1) түрінде берілуі мүмкін.)∆x + f (x2)∆x + ⋯ + f (xn)∆x, мұндағы n – жолақтар саны (n=(b-a)/∆x). Аймақтың бұл қосындысын қосынды белгісі арқылы оңай көрсетуге болады, өйткені I ∑i=1 f (xi)∆x.∆x кішірек болғанда жуықтау жақсырақ болғандықтан, ∆x→0 болғанда мәнді есептей аламыз. Сондықтан I=lim∆x→0 ∑i=1 f (xi)∆x.
Жоғарыда келтірілген тұжырымдаманы жалпылау ретінде i арқылы индекстелген қарастырылатын интервал негізінде ∆x таңдай аламыз (орнына қарай аумақтың енін таңдау). Сонда бізаламыз
I=lim∆x→0 ∑i=1 f (x i) ∆xi=a∫b f (x)dx
Бұл [a, b] интервалындағы f (x) функциясының Рейман интегралы ретінде белгілі. Бұл жағдайда a және b интегралдың жоғарғы және төменгі шекарасы ретінде белгілі. Рейман интегралы барлық интеграция әдістерінің негізгі түрі болып табылады.
Негізінде интеграция дегеніміз тіктөртбұрыштың ені шексіз аз болған кездегі ауданның қосындысы.
Интеграция мен қорытындының айырмашылығы неде?
• Жиынтық – сандар тізбегін қосу. Әдетте, қосынды мына пішінде беріледі ∑i=1 ai үлгісі бар және оны жалпы термин арқылы көрсетуге болады.
• Интеграция негізінен функцияның қисығымен, осімен және жоғарғы және төменгі шектермен шектелген аумақ болып табылады. Бұл аумақты шектелген аумаққа кіретін әлдеқайда аз аумақтардың қосындысы ретінде беруге болады.
• Қосындылау жоғарғы және төменгі шекаралары бар дискретті мәндерді қамтиды, ал интеграция үздіксіз мәндерді қамтиды.
• Интеграцияны арнайы жинақтау түрі ретінде түсіндіруге болады.
• Сандық есептеу әдістерінде интеграция әрқашан жиынтық ретінде орындалады.
