Ішкі жиын және супержинақ
Математикада жиын ұғымы іргелі болып табылады. Жиын теориясын қазіргі заманғы зерттеу 1800 жылдардың аяғында рәсімделді. Жиын теориясы – математиканың іргелі тілі және қазіргі математиканың негізгі қағидаларының репозиторийі. Екінші жағынан, бұл қазіргі математикадағы математикалық логика саласы ретінде жіктелген өз алдына математиканың бір саласы.
Жиын - бұл жақсы анықталған нысандар жинағы. Белгілі бір объектінің белгілі бір жиынтыққа жататынын немесе жатпағанын анықтауға болатын механизм бар дегенді білдіреді. Жиынға жататын объектілер жиынның элементтері немесе мүшелері деп аталады. Жиындар әдетте бас әріптермен белгіленеді, ал элементтерді көрсету үшін кіші әріптер пайдаланылады.
А жиыны В жиынының ішкі жиыны деп аталады; А жиынының әрбір элементі де В жиынының элементі болған жағдайда ғана. Жиындар арасындағы мұндай қатынас A ⊆ B арқылы белгіленеді. Оны «А В құрамында болады» деп те оқуға болады. А жиыны дұрыс ішкі жиын деп аталады, егер A ⊆ B және A ≠B болса және оны A ⊂ B деп белгілейді. Егер А-да В-ның мүшесі емес тіпті бір мүше болса, онда A В-ның ішкі жиыны бола алмайды. Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны, ал жиынның өзі сол жиынның ішкі жиыны болып табылады.
Егер А В жиынының ішкі жиыны болса, онда А В құрамында болады. Бұл В құрамында А бар екенін білдіреді, немесе басқаша айтқанда, В A жиынының үстіңгі жиыны. В деп белгілеу үшін A ⊇ B деп жазамыз A. үстіңгі жиыны
Мысалы, A={1, 3} - B={1, 2, 3} ішкі жиыны, өйткені В құрамындағы А элементтерінің барлығы. B А-ның үстіңгі жиыны, өйткені В құрамында A. A={1, 2, 3} және B={3, 4, 5} болсын. Сонда A∩B={3}. Демек, А және В екеуі де A∩B-нің үстіңгі жиындары. A∪B жиыны A және B екеуінің де үстіңгі жиыны болып табылады, өйткені A∪B A және B элементтерінің барлық элементтерін қамтиды.
Егер А В жоғарғы жиыны болса және В С үстіңгі жиыны болса, онда А С жиынының жоғарғы жиыны болады. Кез келген А жиыны бос жиынның үстіңгі жиыны, ал кез келген жиынның өзі сол жиынның жоғарғы жиыны.
‘A - В жиыны’ сондай-ақ A ⊆ B арқылы белгіленген ‘A B құрамында бар’ ретінде оқылады.
‘B – A-ның үстіңгі жиыны’ сондай-ақ A ⊇ B арқылы белгіленген ‘B A-да қамтылған’ ретінде оқылады.
