Параллелограмм және төртбұрыш
Төртбұрыштар мен параллелограммдар Евклид геометриясында кездесетін көпбұрыштар. Параллелограмм төртбұрыштың ерекше жағдайы болып табылады. Төртбұрыштар жазық (2D) немесе 3 өлшемді болуы мүмкін, ал параллелограммдар әрқашан жазық болады.
Төртбұрыш
Төртбұрыш – төрт қабырғасы бар көпбұрыш. Оның төрт төбесі бар, ішкі бұрыштарының қосындысы 3600 (2π рад). Төртбұрыштар өзара қиылысатын және қарапайым төртбұрыштар категорияларына бөлінеді. Өздігінен қиылысатын төртбұрыштардың бір-бірімен қиылысатын екі немесе одан да көп қабырғалары және кішірек геометриялық фигуралар (мысалы, төртбұрыштың ішінде үшбұрыштар пайда болады).
Қарапайым төртбұрыштар да дөңес және ойыс төртбұрыштарға бөлінеді. Ойыс төртбұрыштардың фигураның ішінде рефлекторлық бұрыштарды құрайтын көрші жақтары бар. Ішінде рефлекторлық бұрыштары жоқ қарапайым төртбұрыштар дөңес төртбұрыштар болып табылады. Дөңес төртбұрыштарда әрқашан мотоциклдер болуы мүмкін.
Бастапқы деңгейлердегі төртбұрыштар геометриясының негізгі бөлігі дөңес төртбұрыштарға қатысты. Кейбір төртбұрыштар бізге бастауыш мектеп кезінен жақсы таныс. Төменде әртүрлі дөңес төртбұрыштарды көрсететін диаграмма берілген.
Параллелограмм
Параллелограмм төрт жағы бар, қарама-қарсы жақтары бір-біріне параллель болатын геометриялық фигура ретінде анықталуы мүмкін. Дәлірек айтқанда, екі жұп параллель қабырғалары бар төртбұрыш. Бұл параллель табиғат параллелограммдарға көптеген геометриялық сипаттамалар береді.
Төртбұрыш параллелограмм болып табылады, егер келесі геометриялық сипаттамалар табылса.
• Екі жұп қарама-қарсы жақтардың ұзындығы бірдей. (AB=DC, AD=BC)
• Екі жұп қарама-қарсы бұрыштардың өлшемдері бірдей. ([латекс]D\қалпақ{A}B=B\қалпақ{C}D, A\қалпақ{D}C=A\қалпақ{B}C[/латекс])
• Егер іргелес бұрыштар қосымша болса [латекс]D\қалпақ{A}B + A\қалпақ{D}C=A\қалпақ{D}C + B\қалпақ{C}D=B\қалпақ {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi рад[/latex]
• Бір-біріне қарама-қарсы орналасқан жұп жақтары параллель және ұзындығы бірдей. (AB=DC & AB∥DC)
• Диагональдар бір-бірін екіге бөледі (AO=OC, BO=OD)
• Әрбір диагональ төртбұрышты екі сәйкес үшбұрышқа бөледі. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Одан әрі жақтарының квадраттарының қосындысы диагональдардың квадраттарының қосындысына тең. Бұл кейде параллелограмм заңы деп аталады және физика мен техникада кеңінен қолданылады. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Төртбұрыштың параллелограмм екені анықталғаннан кейін жоғарыда аталған сипаттамалардың әрқайсысын қасиет ретінде пайдалануға болады.
Параллелограммның ауданын бір қабырғасының ұзындығы мен қарама-қарсы жағына биіктігінің көбейтіндісі арқылы есептеуге болады. Сондықтан параллелограммның ауданындеп көрсетуге болады.
Параллелограмның ауданы=негізі × биіктігі=AB×h
Параллелограмның ауданы жеке параллелограмның пішініне тәуелсіз. Ол тек негіздің ұзындығына және перпендикуляр биіктікке байланысты.
Егер параллелограмның қабырғаларын екі вектормен бейнелеуге болатын болса, ауданды екі көрші вектордың векторлық көбейтіндісінің (көлденең көбейтіндісінің) шамасы арқылы алуға болады.
Егер AB және AD жақтары сәйкесінше ([латекс]\overrightarrow{AB}[/latex]) және ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) векторларымен берілген болса, параллелограмм [латекс]\left | арқылы берілген \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], мұндағы α - [латекс]\overrightarrow{AB}[/latex] және [латекс]\overrighterrow{AD}[/latex] арасындағы бұрыш.
Келесі параллелограмның кейбір кеңейтілген қасиеттері;
• Параллелограмның ауданы оның кез келген диагональдары арқылы жасалған үшбұрыштың ауданынан екі есе үлкен.
• Параллелограмның ауданы ортасынан өтетін кез келген түзумен екіге бөлінеді.
• Кез келген азғындалмаған аффиндік түрлендіру параллелограммды басқа параллелограмға қабылдайды
• Параллелограмның айналу симметриясы 2 ретті
• Параллелограмның кез келген ішкі нүктесінен қабырғаларына дейінгі қашықтықтардың қосындысы нүктенің орнына тәуелсіз
Параллелограмм мен төртбұрыштың айырмашылығы неде?
• Төртбұрыштар төрт қабырғасы бар көпбұрыштар (кейде тетрагондар деп аталады), ал параллелограмм төртбұрыштың ерекше түрі болып табылады.
• Төртбұрыштардың қабырғалары әртүрлі жазықтықта (3D кеңістігінде) болуы мүмкін, ал параллелограмның барлық қабырғалары бір жазықтықта (жазық/ 2өлшемді).
• Төртбұрыштың ішкі бұрыштары қосындысы 3600-ге дейін болатын кез келген мәнді (соның ішінде рефлекторлық бұрыштарды) қабылдай алады. Параллелограммдарда бұрыштың максималды түрі ретінде тек доғал бұрыштар болуы мүмкін.
• Төртбұрыштың төрт қабырғасы әртүрлі ұзындықта болуы мүмкін, ал параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары әрқашан бір-біріне параллель және ұзындығы бірдей болады.
• Кез келген диагональ параллелограммды екі конгруентті үшбұрышқа бөледі, ал жалпы төртбұрыштың диагоналы арқылы құрылған үшбұрыштар міндетті түрде сәйкес келмейді.
