Параллелограмм және ромб
Параллелограмм мен ромб төртбұрыш. Бұл фигуралардың геометриясы адамға мыңдаған жылдар бойы белгілі болды. Бұл тақырып грек математигі Евклид жазған «Элементтер» кітабында нақты қарастырылған.
Параллелограмм
Параллелограмм төрт жағы бар, қарама-қарсы жақтары бір-біріне параллель болатын геометриялық фигура ретінде анықталуы мүмкін. Дәлірек айтқанда, екі жұп параллель қабырғалары бар төртбұрыш. Бұл параллель табиғат параллелограммдарға көптеген геометриялық сипаттамалар береді.
Төртбұрыш параллелограмм болып табылады, егер келесі геометриялық сипаттамалар табылса.
• Екі жұп қарама-қарсы жақтардың ұзындығы бірдей. (AB=DC, AD=BC)
• Екі жұп қарама-қарсы бұрыштардың өлшемдері бірдей. ([латекс]D\қалпақ{A}B=B\қалпақ{C}D, A\қалпақ{D}C=A\қалпақ{B}C[/латекс])
• Егер іргелес бұрыштар қосымша болса [латекс]D\қалпақ{A}B + A\қалпақ{D}C=A\қалпақ{D}C + B\қалпақ{C}D=B\қалпақ {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi рад[/latex]
• Бір-біріне қарама-қарсы орналасқан жұп жақтары параллель және ұзындығы бірдей. (AB=DC & AB∥DC)
• Диагональдар бір-бірін екіге бөледі (AO=OC, BO=OD)
• Әрбір диагональ төртбұрышты екі сәйкес үшбұрышқа бөледі. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Одан әрі жақтарының квадраттарының қосындысы диагональдардың квадраттарының қосындысына тең. Бұл кейде параллелограмм заңы деп аталады және физика мен техникада кеңінен қолданылады. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Төртбұрыштың параллелограмм екені анықталғаннан кейін жоғарыда аталған сипаттамалардың әрқайсысын қасиет ретінде пайдалануға болады.
Параллелограммның ауданын бір қабырғасының ұзындығы мен қарама-қарсы жағына биіктігінің көбейтіндісі арқылы есептеуге болады. Сондықтан параллелограммның ауданындеп көрсетуге болады.
Параллелограмның ауданы=негізі × биіктігі=AB×h
Параллелограмның ауданы жеке параллелограмның пішініне тәуелсіз. Ол тек негіздің ұзындығына және перпендикуляр биіктікке байланысты.
Егер параллелограмның қабырғаларын екі вектормен бейнелеуге болатын болса, ауданды екі көрші вектордың векторлық көбейтіндісінің (көлденең көбейтіндісінің) шамасы арқылы алуға болады.
Егер AB және AD жақтары сәйкесінше ([латекс]\overrightarrow{AB}[/latex]) және ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) векторларымен берілген болса, параллелограмм [латекс]\left | арқылы берілген \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], мұндағы α - [латекс]\overrightarrow{AB}[/latex] және [латекс]\overrighterrow{AD}[/latex] арасындағы бұрыш.
Келесі параллелограмның кейбір кеңейтілген қасиеттері;
• Параллелограмның ауданы оның кез келген диагональдары арқылы жасалған үшбұрыштың ауданынан екі есе үлкен.
• Параллелограмның ауданы ортасынан өтетін кез келген түзумен екіге бөлінеді.
• Кез келген азғындалмаған аффиндік түрлендіру параллелограммды басқа параллелограмға қабылдайды
• Параллелограмның айналу симметриясы 2 ретті
• Параллелограмның кез келген ішкі нүктесінен қабырғаларына дейінгі қашықтықтардың қосындысы нүктенің орнына тәуелсіз
Ромб
Барлық қабырғаларының ұзындығы бірдей төртбұрыш ромб деп аталады. Оны тең жақты төртбұрыш деп те атайды. Ол ойын карталарындағы пішінге ұқсас гауһар тасты болып саналады.
Ромб да параллелограмның ерекше жағдайы болып табылады. Оны барлық төрт қабырғасы тең параллелограмм ретінде қарастыруға болады. Оның параллелограмның қасиеттерінен басқа келесі ерекше қасиеттері бар.
• Ромбтың диагональдары бір-бірін тік бұрыш жасап екіге бөледі; диагоналдар перпендикуляр.
• Диагональдар қарама-қарсы екі ішкі бұрышты екіге бөледі.
• Көрші жақтардың кем дегенде екеуінің ұзындығы бірдей.
Ромбтың ауданын параллелограмммен бірдей әдіспен есептеуге болады.
Параллелограмм мен ромбтың айырмашылығы неде?
• Параллелограмм мен ромб төртбұрыштар. Ромб - параллелограммдардың ерекше жағдайы.
• Кез келгеннің ауданын формула негізі × биіктігі арқылы есептеуге болады.
• Диагональдарды ескере отырып;
– Параллелограммның диагональдары бір-бірін екіге, ал параллелограммды екіге екіге бөліп, екі сәйкес үшбұрыш жасайды.
– Ромбтың диагональдары бір-бірін тік бұрыш жасап екіге бөледі, ал құрылған үшбұрыштар тең қабырғалы.
• Ішкі бұрыштарды ескере отырып;
– Параллелограмның қарама-қарсы ішкі бұрыштарының өлшемдері бірдей. Көршілес екі ішкі бұрыш қосымша болып табылады.
– Ромбтың ішкі бұрыштары диагональдарымен екіге бөлінген.
• Тараптарды ескере отырып;
– Параллелограммда қабырғалардың квадраттарының қосындысы диагональ квадраттарының қосындысына тең (параллелограмм заңы).
– Ромбта төрт қабырға тең болғандықтан, қабырғаның төрт еселенген квадраты диагональ квадраттарының қосындысына тең.
