Параллелограмм және тіктөртбұрыш
Параллелограмм мен тіктөртбұрыш төртбұрыш. Бұл фигуралардың геометриясы адамға мыңдаған жылдар бойы белгілі болды. Бұл тақырып грек математигі Евклид жазған «Элементтер» кітабында нақты қарастырылған.
Параллелограмм
Параллелограмм төрт жағы бар, қарама-қарсы жақтары бір-біріне параллель болатын геометриялық фигура ретінде анықталуы мүмкін. Дәлірек айтқанда, екі жұп параллель қабырғалары бар төртбұрыш. Бұл параллель табиғат параллелограммдарға көптеген геометриялық сипаттамалар береді.
Төртбұрыш параллелограмм болып табылады, егер келесі геометриялық сипаттамалар табылса.
• Екі жұп қарама-қарсы жақтардың ұзындығы бірдей. (AB=DC, AD=BC)
• Екі жұп қарама-қарсы бұрыштардың өлшемдері бірдей. ([латекс]D\қалпақ{A}B=B\қалпақ{C}D, A\қалпақ{D}C=A\қалпақ{B}C[/латекс])
• Егер іргелес бұрыштар қосымша болса [латекс]D\қалпақ{A}B + A\қалпақ{D}C=A\қалпақ{D}C + B\қалпақ{C}D=B\қалпақ {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi рад[/latex]
• Бір-біріне қарама-қарсы орналасқан жұп жақтары параллель және ұзындығы бірдей. (AB=DC & AB∥DC)
• Диагональдар бір-бірін екіге бөледі (AO=OC, BO=OD)
• Әрбір диагональ төртбұрышты екі сәйкес үшбұрышқа бөледі. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Одан әрі жақтарының квадраттарының қосындысы диагональдардың квадраттарының қосындысына тең. Бұл кейде параллелограмм заңы деп аталады және физика мен техникада кеңінен қолданылады. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Төртбұрыштың параллелограмм екені анықталғаннан кейін жоғарыда аталған сипаттамалардың әрқайсысын қасиет ретінде пайдалануға болады.
Параллелограммның ауданын бір қабырғасының ұзындығы мен қарама-қарсы жағына биіктігінің көбейтіндісі арқылы есептеуге болады. Сондықтан параллелограммның ауданындеп көрсетуге болады.
Параллелограмның ауданы=негізі × биіктігі=AB×h
Параллелограмның ауданы жеке параллелограмның пішініне тәуелсіз. Ол тек негіздің ұзындығына және перпендикуляр биіктікке байланысты.
Егер параллелограмның қабырғаларын екі вектормен бейнелеуге болатын болса, ауданды екі көрші вектордың векторлық көбейтіндісінің (көлденең көбейтіндісінің) шамасы арқылы алуға болады.
Егер AB және AD жақтары сәйкесінше ([латекс]\overrightarrow{AB}[/latex]) және ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) векторларымен берілген болса, параллелограмм [латекс]\left | арқылы берілген \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], мұндағы α - [латекс]\overrightarrow{AB}[/latex] және [латекс]\overrighterrow{AD}[/latex] арасындағы бұрыш.
Келесі параллелограмның кейбір кеңейтілген қасиеттері;
• Параллелограмның ауданы оның кез келген диагональдары арқылы жасалған үшбұрыштың ауданынан екі есе үлкен.
• Параллелограмның ауданы ортасынан өтетін кез келген түзумен екіге бөлінеді.
• Кез келген азғындалмаған аффиндік түрлендіру параллелограммды басқа параллелограмға қабылдайды
• Параллелограмның айналу симметриясы 2 ретті
• Параллелограмның кез келген ішкі нүктесінен қабырғаларына дейінгі қашықтықтардың қосындысы нүктенің орнына тәуелсіз
Тіктөртбұрыш
Төрт бұрышы тік төртбұрыш тіктөртбұрыш деп аталады. Бұл параллелограмның ерекше жағдайы, мұнда кез келген көрші екі қабырға арасындағы бұрыштар тік бұрыштар болады.
Параллелограмның барлық қасиеттеріне қоса, тіктөртбұрыштың геометриясын қарастырған кезде қосымша сипаттамаларды тануға болады.
• Шыңдардағы әрбір бұрыш тік бұрыш болады.
• Диагональдардың ұзындығы бірдей және олар бір-бірін екіге бөледі. Демек, екіге бөлінген қималардың да ұзындығы бірдей.
• Диагональдардың ұзындығын Пифагор теоремасы арқылы есептеуге болады:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Аудан формуласы ұзындық пен еннің көбейтіндісіне дейін азаяды.
Тіктөртбұрыштың ауданы=ұзындығы × ені
• Тіктөртбұрышта көптеген симметриялық қасиеттер бар, мысалы;
– Тіктөртбұрыш циклдік болып табылады, мұнда барлық төбелер шеңбердің периметріне орналастырылуы мүмкін.
– Бұл барлық бұрыштары тең болатын теңбұрышты.
– Ол изогональды, мұнда барлық бұрыштар бірдей симметриялық орбитада жатады.
– Оның шағылысу симметриясы да, айналу симметриясы да бар.
Параллелограмм мен тіктөртбұрыштың айырмашылығы неде?
• Параллелограмм мен тіктөртбұрыш төртбұрыштар. Тіктөртбұрыш - параллелограммдардың ерекше жағдайы.
• Кез келгеннің ауданын формула негізі × биіктігі арқылы есептеуге болады.
• Диагональдарды ескере отырып;
– Параллелограммның диагональдары бір-бірін екіге, ал параллелограммды екіге екіге бөліп, екі сәйкес үшбұрыш жасайды.
– Тіктөртбұрыштың диагональдарының ұзындығы бірдей және бір-бірін екіге бөледі; екіге бөлінген кесінділердің ұзындығы бірдей. Диагоналдар тіктөртбұрышты екі тең тікбұрышты үшбұрышқа бөледі.
• Ішкі бұрыштарды ескере отырып;
– Параллелограмның қарама-қарсы ішкі бұрыштарының өлшемдері бірдей. Екі іргелес ішкі бұрыштар қосымша болып табылады
– Тіктөртбұрыштың барлық төрт ішкі бұрышы тік бұрыштар.
• Тараптарды ескере отырып;
– Параллелограммда қабырғалардың квадраттарының қосындысы диагональ квадраттарының қосындысына тең (параллелограмм заңы)
– Тіктөртбұрыштарда көршілес екі қабырғасының квадраттарының қосындысы ұштарындағы диагональдың квадратына тең. (Пифагор ережесі)
