Анық пен анықталмаған интегралдар
Есеп – математиканың маңызды саласы, ал дифференциалдау есептеуде маңызды рөл атқарады. Дифференциалдаудың кері процесі интеграл деп аталады, ал кері процесс интеграл ретінде белгілі, немесе қарапайым тілмен айтқанда, дифференциалдауға кері процесс интегралды береді. Шығаратын нәтижелер бойынша интегралдар екі класқа бөлінеді; анықталған және анықталмаған интегралдар.
Анықталмаған интегралдар туралы толығырақ
Анықталмаған интеграл интегралдаудың жалпы түрі болып табылады және оны қарастырылатын функцияның антитуындысы ретінде түсіндіруге болады. F дифференциалдануы f, ал f интегралдануы интегралды береді делік. Ол көбінесе F(x)=∫ƒ(x)dx немесе F=∫ƒ dx түрінде жазылады, мұнда F және ƒ екеуі де x функциясы болып табылады, ал F дифференциалданады. Жоғарыда келтірілген пішінде ол Рейман интегралы деп аталады және алынған функция ерікті тұрақтымен бірге жүреді. Анықталмаған интеграл көбінесе функциялар тобын шығарады; сондықтан интеграл анықталмаған.
Интегралдар және интегралдау процесі дифференциалдық теңдеулерді шешудің өзегі болып табылады. Дегенмен, дифференциациядан айырмашылығы, интеграция әрқашан нақты және стандартты тәртіпті ұстанбайды; кейде шешуді элементар функция арқылы анық көрсету мүмкін емес. Бұл жағдайда аналитикалық шешім көбінесе анықталмаған интеграл түрінде беріледі.
Анықталған интегралдар туралы толығырақ
Анықталған интегралдар - интегралдау процесі шын мәнінде ақырлы санды шығаратын анықталмаған интегралдардың аса бағаланған ұқсастары. Оны графикалық түрде берілген аралықтағы ƒ функциясының қисығымен шектелген аудан ретінде анықтауға болады. Интеграция тәуелсіз айнымалының берілген интервалында орындалған сайын, интеграция a∫bƒ(x) ретінде жазылатын белгілі мәнді шығарады. dx немесе a∫b ƒdx.
Анықталмаған интегралдар мен анықталған интегралдар есептеудің бірінші іргелі теоремасы арқылы өзара байланысты және бұл анықталған интегралды анықталмаған интегралдар арқылы есептеуге мүмкіндік береді. Теорема a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) мұндағы F және ƒ екеуі де x функциясы болып табылады және F (a, b) интервалында дифференциалданады. Аралықты ескере отырып, a және b сәйкесінше төменгі және жоғарғы шек ретінде белгілі.
Тек нақты функциялармен тоқтаудың орнына, интеграцияны күрделі функцияларға кеңейтуге болады және бұл интегралдар контурлық интегралдар деп аталады, мұнда ƒ күрделі айнымалының функциясы болып табылады.
Анықталған және анықталмаған интегралдардың айырмашылығы неде?
Анықталмаған интегралдар функцияның антитуындысын және көбінесе белгілі шешімді емес, функциялар тобын білдіреді. Анықталған интегралдарда интегралдау ақырлы санды береді.
Анықталмаған интегралдар ерікті айнымалыны (демек, функциялар тобын) байланыстырады және анықталған интегралдарда ерікті тұрақты емес, интегралдаудың жоғарғы шегі және төменгі шегі болады.
Анықталмаған интеграл әдетте дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін береді.
