Лаплас және Фурье түрлендірулері
Лаплас түрлендіруі де, Фурье түрлендіруі де интегралды түрлендірулер болып табылады, олар математикалық модельденген физикалық жүйелерді шешудің математикалық әдістері ретінде жиі қолданылады. Процесс қарапайым. Күрделі математикалық модель интегралды түрлендіру арқылы қарапайым, шешілетін модельге түрлендіріледі. Қарапайым модель шешілгеннен кейін кері интегралдық түрлендіру қолданылады, ол бастапқы үлгінің шешімін береді.
Мысалы, физикалық жүйелердің көпшілігі дифференциалдық теңдеулерді шығаратындықтан, оларды алгебралық теңдеулерге немесе интегралды түрлендіру арқылы төменгі дәрежелі оңай шешілетін дифференциалдық теңдеулерге түрлендіруге болады. Сонда мәселені шешу оңайырақ болады.
Лаплас түрлендіруі дегеніміз не?
Нақты айнымалының f (t) функциясы берілген t, оның Лаплас түрлендіруі [латекс] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- интегралымен анықталады. st}f(t)dt [/latex] (ол бар кезде), ол күрделі айнымалы s функциясы болып табылады. Ол әдетте L { f (t)} арқылы белгіленеді. F (s) функциясының Лапластың кері түрлендіруі f (t) функциясы ретінде L { f (t)}=F (s) болып қабылданады, ал кәдімгі математикалық жазуда Lдеп жазамыз. -1{ F (s)}=f (t). Кері түрлендіруді нөлдік функцияларға рұқсат етілмесе, бірегей етіп жасауға болады. Бұл екеуін функция кеңістігінде анықталған сызықтық операторлар ретінде анықтауға болады, сонымен қатар L -1{ L { f (t)}}=f (t), егер нөлдік функцияларға рұқсат берілмесе.
Келесі кестеде ең көп таралған функциялардың кейбірінің Лаплас түрлендірулері берілген.
Фурье түрлендіруі дегеніміз не?
Нақты айнымалының f (t) функциясы берілген t, оның Лаплас түрлендіруі [латекс] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ интегралымен анықталады. pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (ол бар кезде) және әдетте F { f арқылы белгіленеді. (t)}. Кері түрлендіру F -1{ F (α)} интегралы [латекс] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi арқылы берілген. }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Фурье түрлендіруі де сызықтық болып табылады және оны функция кеңістігінде анықталған оператор ретінде қарастыруға болады.
Фурье түрлендіруін қолданып, функцияда үзілістердің шектеулі саны ғана және абсолютті интегралдалатын болса, бастапқы функцияны келесідей жазуға болады.
Лаплас пен Фурье түрлендірулерінің айырмашылығы неде?
- f (t) функциясының Фурье түрлендіруі [латекс] F(\альфа)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / ретінде анықталады \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], ал оның лаплас түрлендіруі [латекс] F(s)=\\int_{ ретінде анықталған. 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Фурье түрлендіруі тек барлық нақты сандар үшін анықталған функциялар үшін анықталады, ал Лаплас түрлендіруі функцияның теріс нақты сандар жиынында анықталуын талап етпейді.
- Фурье түрлендіруі Лаплас түрлендіруінің ерекше жағдайы болып табылады. Теріс емес нақты сандар үшін екеуі де сәйкес келетінін көруге болады. (яғни, α және β нақты болатындай, e β=1/ болатындай Лапласта iα + β деп қабылдаймыз. √(2ᴫ))
- Фурье түрлендіруі бар әрбір функцияның Лаплас түрлендіруі болады, бірақ керісінше емес.
